最短路径是指连接图中两个顶点的路径中，所有边构成的权值之和最小的路径。之前提到的广度优先遍历图结构，其实也是一种计算最短路径的方式，只不过广度遍历中，边的长度都为单位长度，所以路径中经过的顶点的个数即为权值的大小。
最短路径中不能包含负权回路，因为每次经过负权回路，路径的权值会减少，所以这种情况下不存在最短路径。有些图结构中会存在负权边，用于表达通过某条途径可以降低总消耗，在有向图中，负权边不一定会形成负权回路，所以在一些计算最短路径算法中，负权边也可以计算出最短路径；在无向图中，负权边就意味着负权回路，所以无向图中不能存在负权边。后续的所有讨论都设定图中不存在负权回路的情况。
松弛函数
对边集合 
中任意边，以 表示顶点 出发到顶点 的边的权值，以 表示当前从起点 到顶点 的路径权值
若存在边 ，使得：
则更新 值：
所以松弛函数的作用，就是判断是否经过某个顶点，或者说经过某条边，可以缩短起点到终点的路径权值。
为什么将缩短距离的操作称之为“松弛”，不妨理解为，选择某种方式后，到达目的的总代价降低了。什么名字无关紧要，不必纠结。
松弛函数代码示例
def releax(edge, distance, parent): if distance[edge.begin - 1] == None: pass elif distance[edge.end - 1] == None or distance[edge.end - 1] > distance[edge.begin - 1] + edge.weight: distance[edge.end - 1] = distance[edge.begin - 1] + edge.weight parent[edge.end - 1] = edge.begin - 1 return True return False
distance 列表存储从起点到当前顶点的路径权值，parent 列表存储到当前顶点的前驱顶点下标值。初始 distance 列表和parent 列表元素皆为 None，表示路径权值为无穷大，处于不可达状态。
松弛函数执行次数
以对边集合 中每条边执行一次松弛函数作为一次迭代，接下来判断需要执行多少次迭代，可以确保计算出起点到每个顶点的最短距离。
digraph
以图 digraph 为例，各顶点之间边的长度如图中所示。以 表示起点 到顶点 的距离，以 表示起点 到顶点 的最短路径权值，以 表示从顶点 到顶点 的路径。初始情况 ，
从
digraph图中可以明显发现，若已知，则对边
最好情况下分析：
若遍历松弛的边顺序为：
第一次迭代：
对边
对边
对边
因为图结构比较简单，所以可以直接由观察得知，经过第一次迭代，即得出从起点到各个顶点的最短路径权值。
最坏情况下分析：
若遍历松弛的边顺序为：
第一次迭代：
对边
对边
对边
对边
对边
第一次迭代，有三条边起到了松弛的效果，直观的可以看出 ，第一次迭代可以获得经过一个顶点的最短路径，路径为
第二次迭代：
对边
对边
对边
对边
对边
第二次迭代，有一条边起到了松弛的效果，直观的可以看出 ，第二次迭代可以获得经过两个顶点的最短路径，路径为
第三次迭代：
对边
对边
对边
对边
对边
第三次迭代，有一条边起到了松弛的效果，直观的可以看出 ，第三次迭代可以获得经过三个顶点的最短路径，路径为 ，路径如下图所示：
迭代次数分析：
为了方便后续讨论，对于顶点
通过前面的示例过程可以推论：
若图中存在未确认的顶点，则对边集合的一次迭代松弛后，会增加至少一个已确认顶点
推论的意思是指，对图中顶点的确认，是以一种波纹扩散的方式进行的，这里增长的扩散半径是指路径中已确认顶点的个数，而不是路径的权值，并且路径中不包含未确认顶点。
注意路径长度和路径权值并无绝对关系，例如若
推论证明
初始情况下，只有起点 属于已确认顶点，根据邻接表记录，若起点存在相邻顶点，则对边集进行一次迭代松弛后，会增加至少一个已确认顶点。
反证说明：
若一次迭代后，起点 的所有相邻顶点都仍处于未确认状态，即一次迭代后，对于任意相邻顶点 ，存在 。
则对于任意由起点 出发到相邻顶点 的路径 ，存在由起点 出发经过相邻顶点 到达顶点 的路径 ，使得路径 的权值小于路径 的权值，即可以减小 的值。
若
，则 ，路径 的权值小于路径 的权值，说明路径 权值为负数，即图中存在负权回路，与讨论背景不符，如下图所示。
若
，对于路径 中的 部分，因为对于任意相邻顶点 ，存在 ，所以同样存在由起点 出发经过相邻顶点 到达顶点 的路径 ，使得路径 的权值小于路径 的权值，更新路径 为 。如此重复，若起点 的相邻顶点不为无穷多，则必然在某一时刻，更新路径 为 ，使得路径 的权值小于路径 的权值，即图中存在负权回路，与讨论背景不符，如下图所示。
所以对于初始状态的起点 而言，执行一次迭代后，至少会增加一个已确认顶点。
一般性的，当图中已经存在一个或多个已确认顶点时，即图处于任意一种状态，若图中尚存在未确认顶点，则执行一次迭代后，会增加至少一个已确认顶点。
证明过程与上面类似，使用下图作为辅助说明：
example
作者：zhipingChen
链接：https://www.jianshu.com/p/b876fe9b2338
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