算法复杂度是指算法在编写成可执行程序后，运行时所需要的资源，资源包括时间资源和内存资源。可以大概理解为操作的次数和数据个数的比例关系。
算法复杂度分析
O
参考 《Data Structures and Algorithms in Python》 中给的一个例子:
考虑计算一个 n * n 矩阵所有元素的和：
这里列举两种方式:
# version1total_sum = 0for i in range(n): row_sum[i] = 0 for j in range(n): row_sum[i] = row_sum[i] + matrix[i, j] total_sum = total_sum + matrix[i, j]# version2total_sum = 0for i in range(n): row_sum[i] = 0 for j in range(n): row_sum[i] = row_sum[i] + matrix[i, j] total_sum = total_sum + row_sum[i] # 注意这里和上边的不同
v1 版本的关键操作在 j 循环里，两步加法操作，由于嵌套在第一个循环里，操作步骤是 。
v2 版本的 total_sum 只有 n 次操作，它的操作次数是 。
这里你可能还感觉不到它们有多大差别，因为计算机执行的太快了，但是当 n 增长特别快的时候，总的操作次数差距就很明显了：
操作次数比较
通常我们不太关注每个算法具体执行了多少次，而更关心随着输入规模 n 的增加，算法运行时间将以什么速度增加。为此计算机科学家定义了一个符号， 用来表示在最糟糕的情况下算法的运行时间，大 O 符号，在数学上称之为渐进上界（《算法导论》）。
如何计算时间复杂度
上边我们列举了两个版本的计算矩阵和的代码，你看到了两个公式:
v1:
v2:
当 n 非常大的时候， 的数值这里将占主导，我们可以忽略 n 的影响
v1:
v2:
这里我们可以认为两个算法的时间复杂度均为
常用时间复杂度
这里我们列举一些常用的时间复杂度，按照增长速度排序，日常我们的业务代码中最常用的是指数之前的复杂度，指数和阶乘的增长速度非常快， 当输入比较大的时候用在业务代码里是不可接受的。
| O | 名称 | 举例 |
|---|---|---|
| 1 | 常量时间 | 一次赋值 |
| 对数时间 | 折半查找 |
| 线性时间 | 线性查找 |
| n | 对数线性时间 | 快速排序 |
| 平方 | 两重循环 |
| 立方 | 三重循环 |
| 指数 | 递归求斐波那契数列 |
| 阶乘 | 旅行商问题 |
空间复杂度
相比时间复杂度，空间复杂度讨论比较少。因为用户老爷等不及，况且现在存储越来越白菜价了，更多时候我们为了提升响应速度宁可多 使用点空间。 空间复杂度相对好算一些，就是每个元素的空间占用乘以总的元素数，有些算法需要额外的空间存储，有些可以本地解决。 如果能本地搞定的我们成为 in place 的，原地操作，比如交换一个 数组中的某两个位置的元素。但是有些操作可能就需要申请额外的空间 来完成算法。
常见复杂度增长趋势图
为了有个直观的感觉，看看一些经典的时间复杂度和对应的增长趋势图，不同函数在输入规模增长的时候很快就会有巨大的增长差异
常见复杂度增长趋势图
时间换空间，空间换时间
有一些时候时间和空间两者不可兼得，我们会牺牲其中之一来换取另一个。
空间换时间：比如典型的就是 python 中的集合，虽然它比较浪费空间，但是却能用 O(1) 的时间复杂度来判重。
时间换空间：当我们空间不够用，典型的就是缓存失效算法，我们不可能缓存下无限容量的数据，就会使用一些缓存淘汰算法来保证空间可用。
作者：GHope
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