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莫比乌斯反演Mobius inversion

2019.09.01 17:25 147浏览

//本文同步发布于作业部落

▎什么是莫比乌斯反演?

☞『引入』

首先来抛出一个定义,一个随随便便的函数:
F(n)=∑d∣nf(d) F(n)=\sum_{d|n}f(d) F(n)=dnf(d)
fff是个什么玩意的嘞?这个东西不用管,它可以随便理解成一种函数。
d|n是什么呢?就是说F(n)F(n)F(n)等于所有的可以被n整除的d的f(d)f(d)f(d)的总和。
举个例子:

  • F(1)=f(1)F(1)=f(1)F(1)=f(1)
  • F(2)=f(1)+f(2)F(2)=f(1)+f(2)F(2)=f(1)+f(2)
  • F(3)=f(1)+f(3)F(3)=f(1)+f(3)F(3)=f(1)+f(3)
  • F(4)=f(1)+f(2)+f(4)F(4)=f(1)+f(2)+f(4)F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
  • F(5)=f(1)+f(5)F(5)=f(1)+f(5)F(5)=f(1)+f(5)
  • F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
  • F(7)=f(1)+f(7)F(7)=f(1)+f(7)F(7)=f(1)+f(7)
  • F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)

发现了什么规律?

☞『推导』

又上面的一堆东西推出:

  • f(1)=F(1)f(1)=F(1)f(1)=F(1)
  • f(2)=F(2)−F(1)f(2)=F(2)-F(1)f(2)=F(2)F(1)
  • f(3)=F(3)−F(1)f(3)=F(3)-F(1)f(3)=F(3)F(1)
  • f(4)=F(4)−F(2)f(4)=F(4)-F(2)f(4)=F(4)F(2)
  • f(5)=F(5)−F(1)f(5)=F(5)-F(1)f(5)=F(5)F(1)
  • f(6)=F(6)−F(3)−F(2)−F(1)f(6)=F(6)-F(3)-F(2)-F(1)f(6)=F(6)F(3)F(2)F(1)
  • f(7)=F(7)−F(1)f(7)=F(7)-F(1)f(7)=F(7)F(1)
  • f(8)=F(8)−F(4)f(8)=F(8)-F(4)f(8)=F(8)F(4)

这样规律就越来越明显了。

☞『莫比乌斯反演公式』

易得:
F(n)=∑d∣nf(d)=>f(n)=∑d∣nμ(d)F(nd) F(n)=\sum_{d|n}f(d) => f(n)=\sum_{d|n} \mu(d)F( \frac{n}{d})F(n)=dnf(d)=>f(n)=dnμ(d)F(dn)
其中的μ\muμ是莫比乌斯函数。

☞『莫比乌斯函数』

μ\muμ是莫比乌斯函数,这个函数表示起来长这个样:
μ(d)={1d=1(−1)kd=p1+p2+p3+…+pk0others \mu(d)= \begin{cases} 1& d=1 \\ (-1)^k& d=p_1+p_2+p_3+…+p_k\\ 0& others \end{cases} μ(d)=1(1)k0d=1d=p1+p2+p3++pkothers
正因为此,莫比乌斯函数有一个特别的性质。

▎莫比乌斯函数的性质

☞『性质』

现在来思考这个东西等于什么:
∑d∣nμ(d)\sum_{d|n} \mu(d)dnμ(d)
这玩意儿得分类讨论的。
∑d∣nμ={1n=10n>1\sum_{d|n} \mu = \begin{cases} 1& n=1\\ 0& n>1 \end{cases}dnμ={10n=1n>1

☞『证明』

为什么呢?证明如下:

  • 当n=1时,显然d只有等于1的情况,当d等于1时μ(d)\mu(d)μ(d)显然等于1。
  • 当n>1时,我们可以试着拆分一下:
  • n=p1a1p2a2p2a3……pkakp_1^{a_1} p_2^{a_2} p_2^{a_3} …… p_k^{a_k}p1a1p2a2p2a3pkak
  • μ(d)\mu(d)μ(d)不等于0时,显然a1,a2,a3,……,aka_1,a_2,a_3,……,a_ka1,a2,a3,,ak都要等于1。
  • 那么我们设质因数个数为r的因子有CkrC_k^rCkr个。
  • 根据莫比乌斯函数的取值情况,我们可知:
  • ∑d∣n=Ck0−Ck1+Ck2−Ck3+Ck4−Ck5+……+(−1)kCkk=>∑d∣n=∑i=0k(−1)iCki\sum_{d|n}=C_k^0-C_k^1+C_k^2-C_k^3+C_k^4-C_k^5+……+(-1)^kC_k^k => \sum_{d|n}=\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^idn=Ck0Ck1+Ck2Ck3+Ck4Ck5++(1)kCkk=>dn=i=0k(1)iCki
  • 所以,我们现在的问题就是如何证明∑i=0n(−1)iCni=0\sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^i=0i=0n(1)iCni=0
  • 我们恰好需要用到一个叫做二项式定理的东西。
  • 这玩意长这样:(x+y)n=∑i=0nCnixiyn−i(x+y)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ix^iy^{n-i}(x+y)n=i=0nCnixiyni
  • 当我们将x=-1,y=1代入后就长这样:0=∑i=0n(−1)iCni0=\sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^i0=i=0n(1)iCni右边完全一样啊,左边等于0。
  • 证毕
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