图解精选 TOP 面试题 002 | 104. 二叉树的最大深度

作者：江不知
题解项目：LeetCode Notebook
编程拯救世界（ID: CodeWarrior_）：专注于编程基础与服务端研发。

题目描述

原题链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree

给定一个二叉树，找出其最大深度。

二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

说明：叶子节点是指没有子节点的节点。

示例：

给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

返回它的最大深度 3 。

解题思路

题目要求求出二叉树的最大深度，我们知道，每个节点的深度与它左右子树的深度有关，且等于其左右子树最大深度值加上 1，可以写作：

maxDepth(root) = max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1

以 [3,9,20,null,null,15,7] 为例，根节点 3 的深度取决于它左右子树的深度：

因其左右子树深度尚不可知，我们需要对其一一求解。

先来看左子树，即以 4 为根节点的子树，因为它没有左右子节点，所以深度为 1:

再来看以 20 为根节点的右子树，同理，它的深度也取决于左右子树的深度：

它的左子节点 15 与右子节点 7 的情况与上述节点 4 相同，左右子节点均为空，所以这两个节点的深度也是 1。由此我们可以得出节点 20 的深度为 2，推导过程如下：

max(左子树最大深度, 右子树最大深度) + 1
=
max(1, 1) + 1
=
1 + 1
=
2

这样一来，我们知道了所有子节点的深度，各节点深度如下：

由此可得根节点 3 的深度为：

max(左子树最大深度, 右子树最大深度) + 1
=
max(1, 2) + 1
=
2 + 1
=
3

上述推导过程整体如下：

maxDepth(3-root)
=
max(maxDepth(4-sub), maxDepth(20-sub)) + 1
=
max(1, max(maxDepth(15-sub), maxDepth(7-sub)) + 1) + 1
=
max(1, maxDepth(1, 1) + 1) + 1
=
max(1, 2) + 1
=
2 + 1
=
3

在推导过程中我们看到 maxDepth() 函数频繁出现，即我们在频繁地求取某节点的最大深度。由此可见，「求节点的最大深度」是该题的子问题，该题最直观的解答方式是用递归求解。

递归设计

在递归算法中，递归函数的设计非常重要，首先我们要先明确该函数的作用，然后再确定何时结束与何时调用该函数。

明确函数作用

该函数的作用用一句话概括就是：计算节点的最大深度。

• 函数输入：确定的节点
• 函数输出：该节点的最大深度

何时结束

当输入的节点为空节点时，我们无需继续计算其子树的深度，此时可以直接结束递归函数，并返回空节点的深度为 0。

何时调用

当输入节点为非空节点时，该节点的深度取决于其左右子树的深度，即：

maxDepth(root) = max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1

此时需要进行函数的递归调用。

具体实现

Python

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def maxDepth(self, root: TreeNode) -> int:
        if root is None:
            return 0
        return max(self.maxDepth(root.left), self.maxDepth(root.right)) + 1

Golang

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }
    return max(maxDepth(root.Left), maxDepth(root.Right)) + 1
}

func max(a int, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

复杂度

假设节点的数量为 n。

时间复杂度

因为每个节点都需要被访问一次，因此时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度

考虑到递归使用调用栈（call stack）的情况。

• 最坏情况：树完全不平衡。例如每个节点都只有右节点，此时将递归 n 次，需要保持调用栈的存储为 O(n)
• 最好情况：树完全平衡。即树的高度为 log(n)，此时空间复杂度为 O(log(n))

总结一下

与树相关的题目常用递归来解，对于递归而言，我们需要明确：

1. 递归函数的用途
2. 递归函数的结束条件
3. 递归函数自身调用的时机

除此之外，在计算空间复杂度时，我们也要考虑到递归时调用栈的情况。

当然了，这道题还可以用迭代法来做，由于篇幅有限，就不在本篇叙述了。大家可以想想要怎么用迭代法解答本题，我们下次再来细说~