搞定面试算法系列 | 贪心算法与正确性归纳证明

作者：江不知
题解项目：LeetCode Notebook
编程拯救世界（ID: CodeWarrior_）：专注于编程基础与服务端研发。

主要思想

贪心算法就是让计算机模拟一个「贪心的人」来做出决策。这个贪心的人是目光短浅的，他每次总是：

• 只做出当前看来最好的选择
• 只看眼前的利益，而不考虑做出选择后对未来造成的影响

并且他一旦做出了选择，就没有办法反悔（不可回溯），所以为了利益最大化，他需要保证绝不能做出错误的选择。

贪心算法不是从整体最优的角度上考虑问题，而是只在意某种意义上的局部最优解。因此，贪心算法并不能保证在所有情况下都能获得最优解。所以在使用贪心算法时，我们需要确保自己能证明最优解的正确性。

贪心性质

可以用贪心算法解决的题目需要满足以下性质：

• 最优子结构：一个问题的最优解包含其子问题的最优解
• 贪心选择性：所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到

证明方法

贪心算法最难的部分从不在于问题的求解，而在于正确性的证明，常用的证明方法有归纳法和交换论证法。

• 归纳法：对算法进行步数归纳或问题规模归纳
• 交换论证法：从最优解出发，在保证最优性不变的前提下，从一个最优解进行逐步替换，从而得到贪心策略的解

因篇幅有限，本篇我们主要说说归纳证明。归纳证明的本质其实就是数学归纳法，我们先来复习下数学归纳法吧。

数学归纳法

数学归纳法（Mathematical Induction）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。

证明步骤

最简单和常见的数学归纳法是证明当 n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

1. 证明当 n = 1 时，命题成立
2. 证明如果在 n = m（m 为任意自然数）时命题成立，那么可以推导出 n = m + 1 时命题也成立

证明步骤一为归纳基础，证明步骤二为归纳步骤。

原理

该方法的原理在于：一旦我们证明了在某个起点值（例如 n = 1）时命题成立，且证明出从一个值到下一个值的过程有效（即 n = m 到 n = m + 1），那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。即：

P(1) 为真，且 $\forall$ n, P(n) 为真 $\to$ P(n + 1) 为真

那么：

n = 1, P(1) 为真 $\to$ P(2) 为真；

n = 2, P(2) 为真 $\to$ P(3) 为真

$$\dots \dots$$

举个例子

如果我们要证明对于任意自然数，都满足：

1+2+...+n=n×(1+n)21 + 2 + ... + n = \frac {n \times (1 + n)}{2}1+2+...+n=2n×(1+n)​

归纳基础

找到起始点，即 n = 1 时，此时等式左侧等于 1，右侧等于：

1×(1+1)2=22=1\frac {1 \times (1 + 1)}{2} = \frac {2}{2} = 121×(1+1)​=22​=1

左右两侧相等，因此在 n = 1 时，命题成立。

归纳步骤

先假设：对于任意自然数 n 命题均成立。

那么，当 n = n + 1 时：

$$1+2+...+(n+1)$$

$$=(1+2+...+n)+(n+1)$$

=n×(1+n)2+(n+1)= \frac {n \times (1 + n)}{2} + (n + 1)=2n×(1+n)​+(n+1)

=n×(1+n)2+2×(n+1)2= \frac {n \times (1 + n)}{2} + \frac{2 \times (n + 1)}{2}=2n×(1+n)​+22×(n+1)​

=(n+1)×(n+2)2= \frac{(n + 1) \times (n + 2)}{2}=2(n+1)×(n+2)​

因此，在 n = n + 1 时，命题也成立。证毕。

算法正确性归纳证明

归纳证明的证明步骤如下：

1. 叙述一个有关自然数 n 的命题，该命题断定贪心策略的执行最终将导致最优解，其中自然数 n 可以代表算法步数或者问题规模。
2. 证明该问题对所有自然数为真

其中，步骤二使用数学归纳法证明，即践行归纳基础与归纳步骤。

下面我们就来看下如何使用归纳法来证明 Kruskal 算法的正确性。

Kruskal 最小生成树

Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法，由 Kruskal 发明。该算法基于贪心思想，基本思想是从小到大加入边。

主要思想

1. 将图的边按权值大小从小到大依次选取
2. 选取权值最小的边 edge，假设构成该边的两个点为 (point1, point2)，如果 point1 和 point2 已在一个连通图中，则舍弃该边；否则讲该边加入最小生成树中
3. 重复步骤 2，直到构成最小生成树为止

正确性证明

叙述命题

首先，给出命题：对于任意 n，该算法对 n 阶图都能得到一棵最小生成树。

归纳基础

当 n = 2 时，此时只有一条边，命题显然为真。

归纳步骤

假设对于 n 个顶点的图，该算法正确，考虑 n + 1 个定点的图 $G$，假设 $G$ 中最小边权为 $e=\{i,j\}$。

此时，在图 $G$ 中连接点 $i$ 与点 $j$，得到图 G′G'G′。

根据归纳假设，由算法可推出：存在 G′G'G′ 的最小生成树 T′T'T′。令 T=T′⋃{e}T = T' \bigcup \{e\}T=T′⋃{e}，则 $T$ 是关于 $G$ 的最小生成树。

反证：若 $T$ 不是 $G$ 的最小生成树，那么必然存在某包含 $e$ 边的最小生成树 T∗T^*T∗，使得 W(T∗)<W(T)W(T^*) < W(T)W(T∗)<W(T)（即 T∗T^*T∗ 的边权小于 $T$）。

此时，在 T∗T^*T∗ 中删除 $e$ 边，可得到 G’ 的最小生成树 T∗−{e}T^* - \{e\}T∗−{e}，且有：

$$
W(T^* - {e}) =

W(T^*) - w(e) <

W(T) - w(e) =

W(T’)
$$

该表达式与 T′T'T′ 是最优解相互矛盾，所以 $T$ 必然是 $G$ 的最小生成树，证毕。

总结

• 贪心算法不是从整体最优的角度上考虑问题，而是只考虑某种意义上的局部最优解，不可回溯，不考虑后果
• 可以用贪心解答的题目需要满足最优子结构与贪心选择性
• 贪心算法并不能保证在所有情况下都能获得最优解，所以在使用贪心算法时需要证明算法的正确性，常见的证明方法有归纳法与交换论证法
• 数学归纳法通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明过程为归纳基础+归纳步骤
• 归纳证明需先给出命题，再用数学归纳法证明该命题对所有自然数为真