最长上升子序列

动态规划问题的解决需要找到重叠子问题和最优子结构，这个最长上升子序列问题，就是要找到i位置的数的上升子序列的长度，需要找到i之前的数j，即从位置0到i的区间里面的最长上升子序列的长度，如果比i位置的元素值小，那么加1就是i位置的最长子序列。

class Solution {

    /**
     * @param Integer[] $nums
     * @return Integer
     */
    function lengthOfLIS($nums) {
        $count = count($nums);
        //空数组的最长子序列长度是0
        if($count == 0){
            return 0;
        }
        //初始每个位置的最长子序列长度是1
        $lis = [];
        foreach($nums as $k=>$val){
            $lis[$k] = 1;
        }
		//从i=1个位置，考察最长上升子序列
        for($i=1;$i<$count;$i++){
            $max_flag = 0;	//是否在[0,i)区间里面找到比i的值小的值。
            $max = 1;
	        //在[0,i)区间里面找到i位置的最长上升子序列长度
	        //再根据之前找到的最长上升子序列长度，找到现在的最长上升子序列长度
	        //上面就是重叠子问题，通过自底向上的方式，解决问题，就是动态规划。
            for($j=0;$j<$i;$j++){
	            //如果位置j的值小于当前位置i的值
                if($nums[$j] < $nums[$i] ){
	                //当前的最长上升子序列长度和位置j的最长上升子序列长度的最大值
	                //附件介绍：当前位置i的最长上升子序列长度=1，还在计算中。
                    $max = max($max,$lis[$j]);	
                    //$max就是i前面的最长上升子序列
                    $max_flag = 1;
                }
				//如果找到了比nums[$i]小的值，那么就需要位置i的最长上升子序列更新
                if($max_flag == 1){
                    $lis[$i] = $max +1;
                }

            }
            //内层for循环完成之后，就找到位置i的最长上升子序列的长度
        }
		//最后返回最大的，就是数组中，最长上升子序列的长度
        return max($lis);
    }
}

也可以简化为这样

class Solution {

    /**
     * @param Integer[] $nums
     * @return Integer
     */
    function lengthOfLIS($nums) {
        $count = count($nums);
        if($count == 0){
            return 0;
        }
        $lis = [];
        foreach($nums as $k=>$val){
            $lis[$k] = 1;
        }

        for($i=1;$i<$count;$i++){
    
            for($j=0;$j<$i;$j++){
                if($nums[$j] < $nums[$i] ){
                //直接保存到lis[$i]，记录位置i最长上升子序列的长度
                    $lis[$i] = max($lis[$i],$lis[$j]+1);
                    
                }
                
            }
        }

        //找到数组中最大的数
        return max($lis);
    }
}