0.引言
sift针对局部特征进行特征提取，在尺度空间寻找极值点，提取位置，尺度，旋转不变量，生成特征描述子。
总共分四个步骤：
step2 关键点/极值点提取
2.1 关键点位置初步探查
生成DOG金字塔后，要找到DOG空间中的局部极值点。第一步首先根据DOG空间内，各点响应大小检测和筛选极值点。
选择策略如下： 
中间的检测点和它同尺度的8个相邻点和上下相邻尺度对应的9×2个点共26个点比较，以确保在尺度空间和二维图像空间都检测到极值点。
由于要在相邻尺度进行比较，高斯差分金子塔S+2层，头尾两层无法计算，因此，定义的INTERVALS层数就是指检测极值点的层数。
bool isExtremum(int x,int y,const vector<Mat>& dog_pyr,int index)//x为列，y为行{
pixel_t* data = (pixel_t*)dog_pyr[index].data; //当前层数据的指针
pixel_t val = *(data + dog_pyr[index].cols*y + x); //当前点像素
//检查是否为极大值
if (val>0)
{ for (int i = -1; i < 2; i++)
{ int col_cur= dog_pyr[index+i].cols; //当前层列数
for (int j = -1; j < 2; j++)
{ for (int k = -1; k < 2; k++)
{ if (val<*((pixel_t*)dog_pyr[index+i].data+col_cur*(y+j)+x+k))
{ return false;
}
}
}
}
}//极大值
//检查是否为极小值
else
{ for (int i = -1; i < 2; i++)
{ int col_cur = dog_pyr[index + i].cols; //当前层列数
for (int j = -1; j < 2; j++)
{ for (int k = -1; k < 2; k++)
{ if (val > *((pixel_t*)dog_pyr[index + i].data + col_cur*(y + j) + x + k))
{ return false;
}
}
}
}
}//极小值
return true;
}当然这样产生离散空间的极值点并不全都是稳定的特征点，因为某些极值点响应较弱（对比度低），同时DOG算子会产生较强的边缘响应。为了解决这两个问题，需要对极值点进行插值和筛选。
2.2 关键点插值定位修正和边缘响应去除
2.2.1位置修正及去除低响应
插值需要将离散的图像表达式，表达为连续的函数。以下通过拟合三维二次函数（二阶的泰勒展开式）来精确确定关键点的位置和尺度。 
其中
是位置和尺度三个变量的向量。
二次函数对称轴就是极值点偏移量：
此处，为了求此公式，需要提前定义好计算逆矩阵，二阶偏导，一阶偏导 的函数。
/*************************************************************************************************************************
*模块说明：* 求偏差量预备工作 【1】返回第index层的金字塔在y行x列的值
*功能说明：* PryAt（）---At：在该层y行x列的值**************************************************************************************************************************/
pixel_t PyrAt(const vector<Mat>& pyr, int index, int x, int y)
{ pixel_t *data = (pixel_t*)pyr[index].data; pixel_t val = *(data + y*pyr[index].cols + x); return val;}#define At(index, x, y) (PyrAt(dog_pyr, (index), (x), (y))) /*************************************************************************************************************************
*模块说明：* 求偏差量预备工作，【2】对x,y,sigma的一阶偏导存入dx[3]
*功能说明：* 使用节点的一阶中心差分近似导数， 取最小h=1时，最精确* f'(xi)=(f(xi+h)-f(xi-h))/2h* f'(yi)=(f(yi+h)-f(yi-h))/2h* f'(si)=(f(si+h)-f(si-h))/2h**************************************************************************************************************************/
void DerivativeOf3D(int x,int y,const vector<Mat>& dog_pyr,int index,double *dx)
{ dx[0] = (double)(At(index, x + 1, y) - At(index, x - 1, y)) / 2.0; dx[1] = (double)(At(index, x, y + 1) - At(index, x, y - 1)) / 2.0; dx[2] = (double)(At(index + 1, x, y) - At(index - 1, x, y)) / 2.0;}
/*************************************************************************************************************************
*模块说明：* 求偏差量预备工作，【3】对x,y,sigma的二阶偏导存入Hat(3*3),对称阵* | Dxx Dxy Dxs |* | Dyx Dxy Dys |* | Dsx Dsy Dss |
*功能说明：* 使用节点的一阶中心差分近似导数， 取最小h=1时，最精确* Dxx=f''(xi)=(f(xi+h)+f(xi-h)-2*f(xi))/h^2* Dxy=f''(yi)=(f(yi+h)+f(yi-h)-2*f(yi))/h^2* Dss=f''(si)=(f(si+h)+f(si-h)-2*f(si)))/h^2** Dyx=Dxy=f''(xi)(yi)=(f(xi+h,yi+h)+f(xi-h,yi-h)-f(xi+h,yi-h)-f(xi-h,yi+h))/4*h**************************************************************************************************************************/#define Hat(i,j) (*(H+3*(i)+(j)))void Hessian3D(int x, int y, const vector<Mat>& dog_pyr, int index, double*H)
{ Hat(0, 0) = At(index, x + 1, y) + At(index, x - 1, y) - 2 * At(index, x, y);//Dxx Hat(1, 1) = At(index, x, y + 1) + At(index, x, y - 1) - 2 * At(index, x, y);//Dyy Hat(1, 1) = At(index + 1, x, y) + At(index - 1, x, y) - 2 * At(index, x, y);//Dss Hat(1, 0) = Hat(0, 1) = (At(index, x + 1, y + 1) + At(index, x - 1, y - 1) - At(index, x + 1, y - 1) - At(index, x - 1, y + 1)) / 4.0;//Dxy Hat(2, 0) = Hat(0, 2) = (At(index + 1, x + 1, y) + At(index - 1, x - 1, y) - At(index - 1, x + 1, y) - At(index + 1, x - 1, y)) / 4.0;//Dxs Hat(2, 1) = Hat(1, 2) = (At(index + 1, x, y + 1) + At(index - 1, x, y - 1) - At(index + 1, x, y - 1) - At(index - 1, x, y + 1)) / 4.0;//Dsy}
/*************************************************************************************************************************
*模块说明：* 三阶矩阵求逆**************************************************************************************************************************/#define HIat(i, j) (*(H_inve+3*(i)+j))bool Inverse3D(const double *H,double *H_inve)
{ //行列式 double A =Hat(0, 0)*Hat(1, 1)*Hat(2, 2) + Hat(0, 1)*Hat(1, 2)*Hat(2, 0) + Hat(0, 2)*Hat(1, 0)*Hat(2, 1) - Hat(0, 0)*Hat(1, 2)*Hat(2, 1) - Hat(0, 1)*Hat(1, 0)*Hat(2, 2) - Hat(0, 2)*Hat(1, 1)*Hat(2, 0); if (fabs(A)<1e-10) return false; HIat(0, 0) = Hat(1, 1) * Hat(2, 2) - Hat(2, 1)*Hat(1, 2); HIat(0, 1) = -(Hat(0, 1) * Hat(2, 2) - Hat(2, 1) * Hat(0, 2)); HIat(0, 2) = Hat(0, 1) * Hat(1, 2) - Hat(0, 2)*Hat(1, 1); //伴随矩阵第二行 HIat(1, 0) = Hat(1, 2) * Hat(2, 0) - Hat(2, 2)*Hat(1, 0); HIat(1, 1) = -(Hat(0, 2) * Hat(2, 0) - Hat(0, 0) * Hat(2, 2)); HIat(1, 2) = Hat(0, 2) * Hat(1, 0) - Hat(0, 0)*Hat(1, 2); //伴随矩阵第三行 HIat(2, 0) = Hat(1, 0) * Hat(2, 1) - Hat(1, 1)*Hat(2, 0); HIat(2, 1) = -(Hat(0, 0) * Hat(2, 1) - Hat(0, 1) * Hat(2, 0)); HIat(2, 2) = Hat(0, 0) * Hat(1, 1) - Hat(0, 1)*Hat(1, 0); for (int i = 0; i < 9; i++) { *(H_inve + i) /= A; } return true;}这样就可以计算偏差量了。
/*************************************************************************************************************************
*模块说明：计算x,y,sigma 的偏差量x^、y^、sigma^*
*模块内容 1.x^=-(Dxx*dx+Dxy*dy+Dxs*ds) DOG函数拟合函数的逆矩阵的二阶和拟合函数一阶（为什么这个公式）**************************************************************************************************************************/
void GetoffsetX(int x, int y, const vector<Mat>& dog_pyr, int index, double* offset_x)
{ //求一阶偏导 double dx[3]; DerivativeOf3D(x, y, dog_pyr, index, dx); //求二阶偏导 double H[9], H_inve[9] = {0}; Hessian3D(x, y, dog_pyr, index, H); if (Inverse3D(H, H_inve)) { for (int i = 0; i < 3; i++) { offset_x[i] = 0.0; for (int j = 0; j < 3; j++) { offset_x[i] += H_inve[i * 3 + j] * dx[j]; } offset_x[i]=-offset_x[i]; } } else cout << "无海森逆矩阵" << endl;得到偏移量后，首先判断x,y,sigma任意维度的偏移量是否超过0.5，其次论文中拟合的迭代次数为5次。另外，对比度小于0.03的 极值点也要去除。
极值点处的值计算公式为： 
//2.D（x^）=D+0.5*D'^T(x)*x^=D()+0.5*(Dx*offset[0] +Dy* offset[1]+Ds* offset[2])//计算D（x^）double GetFabsDx(int x,int y,const vector<Mat>& dog_pyr,int index,const double *offset_x)
{ double dx[3];
DerivativeOf3D(x, y, dog_pyr, index, dx); double term = 0.0; for (int i = 0; i < 3; i++)
{
term += dx[i] * offset_x[i];
}
pixel_t val = At(index, x, y); return fabs(val+0.5*term);
}整个筛选并保存关键点如下：
/*************************************************************************************************************************
*模块说明：
* 模块四的第二步:修正极值点，删除不稳定的点
*功能说明:
* 1--根据高斯差分函数产生的极值点并不全都是稳定的特征点，因为某些极值点的响应较弱，而且DOG算子会产生较强的边缘响应
* 2--以上方法检测到的极值点是离散空间的极值点，下面通过拟合三维二次函数来精确定位关键点的位置和尺度，同时去除对比度
* 低和不稳定的边缘响应点(因为DOG算子会产生较强的边缘响应)，以增强匹配的稳定性、提高抗噪声的能力。
* 3--修正极值点，删除不稳定点，|D(x)| < 0.03 Lowe 2004
**************************************************************************************************************************/Keypoint* InterpolationExtremum(int x ,int y, const vector<Mat>& dog_pyr, int index, int octave, int interval, double dxthreshold)
{ double offset_x[3] = {0}; const Mat &mat = dog_pyr[index]; int idx = index; //int intvl=interval;
int i = 0; for (; i < MAX_INTERPOLATION_STEPS; i++)
{ //求取偏移量
GetoffsetX(x, y, dog_pyr, idx, offset_x);
//如果offset_x 的任一维度大于0.5，插值中心已经偏移到它的邻近点上
if (fabs(offset_x[0]) < 0.5 && fabs(offset_x[1]) < 0.5 && fabs(offset_x[2]) < 0.5) break;
////将找到的极值点对应成像素（整数），用周围点代替
x += cvRound(offset_x[0]);
y += cvRound(offset_x[1]);
interval += cvRound(offset_x[2]);
idx = octave* (INTERVALS+2)+ interval; //超出图像层或者图像边界的范围
if (interval<1||interval>INTERVALS||x>mat.cols-2||x<2|| y>mat.rows - 2 || y<2) return NULL;
} //超出所设定的迭代次数
if (i>=MAX_INTERPOLATION_STEPS) return NULL; //|D(x^)| < 0.03取经验值
if (GetFabsDx(x, y, dog_pyr, idx, offset_x) < dxthreshold / INTERVALS) return NULL; //则属于关键点
Keypoint* keypoint = new Keypoint;
keypoint->x = x;
keypoint->y = y; //keypoint->val=At()
keypoint->offset_x = offset_x[0];
keypoint->offset_y = offset_x[1];
keypoint->offset_interval = offset_x[2];
keypoint->octave = octave;
keypoint->interval = interval;
keypoint->dx = (x + offset_x[0])*pow(2.0, octave); //缩放成原图像大小
keypoint->dy = (y + offset_x[1])*pow(2.0, octave); return keypoint;
}2.2.2边缘响应去除
为了剔除边缘响应点，需要让下比值小于一定的阈值 
)成立时将关键点保留，反之剔除。
其中，在Lowe的文章中，取r＝10。在Lowe的文章中，取r＝10。 
bool passEdgeResponse(int x,int y,vector<Mat>& dog_pyr,int index,double r)
{ //求二阶偏导
double H[9];
Hessian3D(x, y, dog_pyr, index, H); double Tr_h = H[0] + H[4];//Dxx+Dyy
double Det_h = H[0] * H[4] - H[1] * H[1];//Dxx * Dyy - Dxy * Dxy
if (Det_h<=0) return false; if (Tr_h*Tr_h / Det_h < (r + 1)*(r + 1) / r) return true; return false;
}2.2.3 关键点生成保存
通过调用上述过程函数，将关键点位置尺度信息保存。
关键点数据结构：
struct Keypoint
{ int octave; //【1】关键点所在组
int interval; //【2】关键点所在层
double offset_interval; //【3】调整后层的增量（是3/2吗,怎么是double?）
int x, y; //【4】x,y坐标,根据octave和interval可取的层内图像（是指所在组层？）
double scale; //【5】空间尺度坐标scale = sigma0*pow(2.0, o+s/S)
double dx, dy; //【6】特征点坐标，该坐标被缩放成原图像大小
double offset_x, offset_y; //============================================================
//特征描述子
//============================================================
double octave_scale; //【1】offset_i
double ori; //【2】方向
double descriptor[FEATURE_ELEMENT_LENTH];//【3】特征描述子
int descr_length; double val; //【4】极值};保存函数：
void DetectionLocalExtrema(vector<Mat>& dog_pyr,vector<Keypoint>& extrema,int intervals)
{ int octaves = (int)dog_pyr.size() / (intervals+2); //DOG组数
double thresh=0.5*DXTHRESHHOLD/intervals;
for (int o = 0; o < octaves; o++)
{ for (int i = 1; i < intervals+1; i++)
{ int index = o*(intervals + 2) + i; //当前层的索引序号
pixel_t *data =(pixel_t*) dog_pyr[index].data; //当前层数据首地址
//对每层进行提取特征点
for (int y = IMG_BORDER; y < dog_pyr[index].rows-IMG_BORDER; y++)
{ for (int x = IMG_BORDER; x < dog_pyr[index].cols-IMG_BORDER; x++)
{
pixel_t val = *(data + y*dog_pyr[index].cols + x); //当大于阈值，并且时是26个中极值点时
if (fabs(val)>thresh&&isExtremum(x,y,dog_pyr,index))
{
Keypoint *extrum = InterpolationExtremum(x, y, dog_pyr, index, o, i); if (extrum)
{ if (passEdgeResponse(extrum->x,extrum->y,dog_pyr,index))
{
extrum->val = At(index,extrum->x,extrum->y);
extrema.push_back(*extrum);
} delete extrum;
}
}
}
}
}
}
}2.2.4 尺度
void CalculateScale(vector<Keypoint>& features, double sigma, int intervals)
{ double intvl = 0.0; for (int i = 0; i < features.size(); i++)
{
intvl = features[i].interval + features[i].offset_interval;
features[i].scale = sigma * pow(2.0, features[i].octave + intvl / intervals);
features[i].octave_scale = sigma * pow(2.0, intvl / intervals);
}
}//对扩大的图像特征缩放，对应到原图大小（非-1层） void HalfFeatures(vector<Keypoint>& features)
{ for (int i = 0; i < features.size(); i++)
{
features[i].dx /= 2;
features[i].dy /= 2;
features[i].scale /= 2;
}
}
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