1. 前言

前面的章节我们介绍了两种重要的数据结构,数组和链表,由于他们各自的特性使得他们的优缺点非常分明,在查询速度和插入速度上顾此失彼,不能兼顾,那么有没有一种数据结构可以同时高效的完成插入和查询操作呢,答案当然是肯定的,今天我们就来了解 —— 树结构。

2. 树的定义及常用概念

顾名思义,树结构就是以树为原型的数据结构,用来模拟具有树形结构的数据集合。大自然的鬼斧神工让人不得不惊叹它的神奇之力,如何最高效的为每一片叶子供给养分,同时还可以不断的抽枝发芽分支出新的枝干,大树为它的枝叶们提供了最科学的结构基础。而我们也仿照大自然中树的结构,构建了计算机领域里的树形结构。下面我们先定义一些有关树形结构用到的概念。

  • 节点:树结构中用于存储数据元素的部分称为节点。
  • 根节点:我们的树是倒挂的,因此最上面的节点我们称之为根节点。
  • 边:连接元素之间的引用我们称之为边。边是有方向的,从上游节点指向下游节点。
  • 路径:顺着边,将经过的节点按顺序记录下来,称之为路径。路径上节点的个数称之为路径的长度。
  • 父节点:节点的上游节点称之为父节点,通过指向某一节点的边可以找到它的父节点。
  • 子节点:节点的下游节点称之为子节点,通过向下发出的边可以找到它的子节点。
  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点之间互称为兄弟节点。
  • 叶节点:没有子节点的节点称之为叶节点,它是树在这个路径上的末端。
  • 层次:根节点为第一层,根的所有子节点为第二层,第二层的所有子节点组成第三层,以此类推。
  • 深度:从根节点到某一个节点的路径长度称之为该节点的深度。根节点的深度为 0。
  • 高度:从某一节点出发到最远的叶节点的路径长度称之为该节点的高度。叶节点的高度为 0。

3. 二叉树

当一个树形结构上的每个节点最多只有两个子节点时,这个树可以称之为二叉树。二叉树根据节点和元素的分布又可以细分很多类型,比如:

  • 满二叉树:除叶节点外,每一个节点都有两个子节点。
  • 完全二叉树:当我们从上至下,从左至右,按照二叉树的结构依次排满每一个节点的时候,这个树就是完全二叉树,其中当最下面一层的叶节点排满时,这个完全二叉树同时也是满二叉树。
  • 二叉搜索树:当一个节点有左子节点时,左子树上的所有节点一定小于它,同时当一个节点有右子节点时,右子树上的所有节点一定大于它,这个树称之为二叉搜索树,或者二叉查找数。通过这个特殊的约定,我们得到了一个规律性很强的树形结构,给我们做进一步的搜索查找提供了很大的便利。

4. 遍历树

对树上节点的访问顺序其实是一样的,但是输出顺序不同,根据输出顺序我们将遍历分为三种:前序遍历、中序遍历、后序遍历。

  • 前序遍历的规则是根节点 > 左子树 > 右子树
  • 中序遍历的规则是左子树 > 根节点 > 右子树
  • 后序遍历的规则是左子树 > 右子树 > 根节点

5. 小结

本节我们学习了树形结构,我们要清晰掌握常用的概念,知道树是由节点和边构成的一种抽象数据类型,了解二叉树的定义和特点,知道二叉树的每个节点最多有两个子节点,说出几种最常见的二叉树类型比如满二叉树完全二叉树,了解当二叉树中任意一个节点下的左子树的所有节点都比该节点小,右子树的所有节点又都比该节点大时,这个树称之为二叉搜索树。此外大家要根据前序遍历、中序遍历、后序遍历的规则,结合动图掌握二叉树遍历的思路和方法。