ACM之不同的二叉搜索树

首先得知道什么是二叉搜索树：二叉搜索树又叫做有序二叉树、排序二叉树，是指一颗空树或者具有下列性质的树：

①若任意节点的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它根节点的值

②若任意节点的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它根节点的值

③任意结点的左、右子树也是二叉搜索树

④所有结点的值均不相同

     假设n个结点上的值由1，2，...，n构成，则搜索二叉树按照中序遍历输出的结果是就是1、2、...、n。

设num(a)表示有a个结点时搜索二叉树有多少种可能，则

Ⅰ.当头结点的值为1时，左子树为空，右子树上有a - 1个结点，右子树的搜索二叉树个数为num(a - 1)

Ⅱ.当头结点的值为i(1 < i < n)时，左子树由结点1—i-1构成，右子树由结点i+1—n构成；左子树的搜索二叉树个数为num(i-1),右子树的搜索二叉树个数为num(n - i);此时搜索二叉树总的个数为num(i - 1) * num(n - i)

Ⅲ.当头结点的值为a时，右子树为空，左子树上有a - 1个结点，左子树的搜索二叉树个数为num(a - 1)

所以，a个结点时搜索二叉树的个数上述三个步骤的和。

从步骤Ⅱ可以看出来，这种算式与斐波拉契数列非常相似，那就直接用动态规划计算，时间复杂度为O(n^2)

Java实现

package Leetcode;/* *@author: David *@Time: 2018年4月27日下午9:10:38 *@Description: *Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?*/public class BST_num {     //TIME : O(n^2)     private static int Solution(int n) {          if (n < 2) return 1;          int[] num = new int[n+1];          num[0] = 1;          for(int i = 1;i < n + 1;i++){              for(int j = 1;j < i+1 ;j++){                   num[i] += num[j - 1] * num[i - j];              }          }          return num[n];     }          public static void main(String[] args){          int n = 3;          System.out.println(Solution(n));     }}