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数据结构基础剖析——二叉树的原理和实现

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算法与数据结构

树是一种数据结构，由n（n>=1）个有限结点组成的一个具有层次关系的集合。每颗树都有一个根结点，根结点下有若干个子结点，每一个非根结点有且只有一个父结点（根节点没有父结点）。除了根结点外，每个子结点又可以分为多个不相交的子树。
树的相关术语有：
树的结点（node）：包含一个数据元素及若干指向子树的分支；
孩子结点（child node）：结点的子树的根称为该结点的孩子；
双亲结点：B 结点是A 结点的孩子，则A结点是B 结点的双亲；
兄弟结点：同一双亲的孩子结点；
堂兄结点：同一层上结点；
祖先结点: 从根到该结点的所经分支上的所有结点子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙
结点层：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推；
树的深度：树中最大的结点层
结点的度：结点子树的个数
树的度：树中最大的结点度。
叶子结点：也叫终端结点，是度为 0 的结点；
分枝结点：度不为0的结点；
有序树：子树有序的树，如：家族树；
无序树：不考虑子树的顺序；

二叉树是一种特殊的树，每个结点最多有两个子树的树结构，即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树，左子树和右子树是有顺序的。它有五种基本形态：空二叉树、根和空的左右子树、根和左子树、根和右子树、根和左右子树。

二叉树的性质表现为以下几点：
（1）深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>=1）
（2）二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i>=1)
（3）包含n个结点的二叉树的高度至少为(log2n)+1
（4）在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。推论过程如下：
因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，不妨设n0表示度为0的结点个数，n1表示度为1的结点个数，n2表示度为2的结点个数。三类结点加起来为总结点个数，于是便可得到：n=n0+n1+n2 (1)
由度之间的关系可得第二个等式：n=n00+n11+n2*2+1即n=n1+2n2+1 (2)
将（1）（2）组合在一起可得到n0=n2+1

1、满二叉树

先看下特殊的二叉树——满二叉树。满二叉树：除最后一层叶子节点（没有子节点的节点）外，每一层上的所有结点都有两个子结点。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且节点总数是(2^k) -1 ，比如图中层数为4，节点数为15，叶子节点为8、9~~15。在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，叶子树最多。

2、完全二叉树

完全二叉树是由满二叉树引出的一种效率很高的数据结构。对一棵具有n个节点的二叉树按层序排号，如果编号为i的节点与同样深度的满二叉树编号为i节点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。其中关键点是按层序编号，然后对应查找。满二叉树必须是完全二叉树，反过来不一定成立。

完全二叉树的特性：
1、同样结点数的二叉树，完全二叉树的高度最小
2、完全二叉树的叶子结点仅出现在最下边两层，并且最底层的叶子结点一定出现在左边，倒数第二层的叶子结点一定出现在右边。
3、完全二叉树中度为1的结点只有左孩子。

3、二叉树遍历

为什么研究二叉树的遍历？因为计算机只会处理线性序列，我们研究遍历，就是把树中的结点变成某种意义的线性序列，这给程序的实现带来了好处。
二叉树遍历指从树的根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有的结点，使得每个结点被访问仅且一次。从二叉树的递归定义可知，一棵非空的二叉树由根结点及左、右子树这三个基本部分组成，因此，在任一给定结点上，可以按某种次序执行三个操作：访问结点本身（N）；遍历该结点的左子树（L）；遍历该结点的右子树（R）。
以上三种操作有六种执行次序：NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。前三种次序与后三种次序是对称的，此处讨论下前三种次序。

1、NLR为前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历）访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。先访问根结点，再先序遍历左子树，最后再先序遍历右子树即根—左—右。

2、LNR为中序遍历(Inorder Traversal)。访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。先中序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍历右子树即左—根—右。

3、LRN为后序遍历(Postorder Traversal)。访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。先后序遍历左子树，然后再后序遍历右子树，最后再访问根结点即左—右—根。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

以下附上源码程序，编译命令为gcc -o hello tree_exam.c。需要注意键盘输入一个结点时需要对应两个子结点，为空则用#表示。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

//二叉树的存储结构，一个数据域，2个指针域
typedef struct BiTNode
{
    char data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

void PreOrderTraverse(BiTree T)//二叉树的先序遍历
{
    if(T==NULL)
        return ;
    printf("%c ",T->data);
    PreOrderTraverse(T->lchild);
    PreOrderTraverse(T->rchild);
}
void InOrderTraverse(BiTree T)//二叉树的中序遍历
{
   if(T==NULL)
       return ;
   InOrderTraverse(T->lchild);
   printf("%c ",T->data);
   InOrderTraverse(T->rchild);
}
void PostOrderTraverse(BiTree T)//后序遍历
{
    if(T==NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);
    PostOrderTraverse(T->rchild);
    printf("%c ",T->data);
}

void CreateBiTree(BiTree *T)
{
    char ch;
    scanf("%c",&ch);//1C#S##D##A#1## 一个结点对应两个子结点，为空则用#表示
    if(ch=='#')
        *T=NULL;
    else
    {
        *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        if(!*T)
            exit(-1);
        (*T)->data=ch;//给节点的数据域赋值
		printf("输入%c的左子树\n", ch);
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);//递归创建左子树
		printf("输入%c的右子树\n", ch);
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);//递归创建右子树
    }
}


void DestroyBiTree(BiTree T)
{
    if(T)//如果T存在                                        
    {
        DestroyBiTree(T->lchild);
        DestroyBiTree(T->rchild);
        free(T);
    }
}

int main()
{
    BiTree T;
	printf("请输入二叉树的数据，并以#为空节点
");
    CreateBiTree(&T);
	printf("该树的先序遍历结果为：");
    PreOrderTraverse (T);
	printf("\n");
    printf("该树的中序遍历结果为：");
    InOrderTraverse(T);
	printf("\n");
    printf("该树的后序遍历结果为：");
    PostOrderTraverse(T);
	printf("\n");	
	DestroyBiTree(T);
    return 0;
}