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机器学习入门笔记系列（9） | SVM（支持向量机）

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机器学习

一、SVM代价函数

支持向量机(SVM, Support Vector Machines)是一种非常流行与强大的监督算法。

SVM 的代价函数与逻辑回归的代价函数很相似。

逻辑回归与 SVM 的代价函数

现在定义 $cost_0(z),cost_1(z)$ 分别为当 y=1 的分类代价，当 y=0时的分类代价。

SVM 代价函数演化过程

其中，参数 C 相当于 $C = \frac{1} {\lambda}$ 。当算法过拟合时，C 应该减小；当算法欠拟合时，C 应该增加。

SVM 代价函数最终形态

如果你有一个正样本，即 $y=1$ ，则只有在 $z \geq 1$ 时， $cost_1(z) = 0$ 。换句话说，如果你有一个正样本，我们会希望 $\theta^Tx \geq 1$ ；

反之，如果有一个负样本，即 $y=0$ ，则只有在 $z = \theta^Tx \leq -1$ 时， $cost_0(z) = 0$ 。

SVM 优化目标

最后，SVM 的假设函数 $h_\theta(x)$ 不再代表 $y=1$ 的概率，而是直接输出预测值0或1

SVM 假设函数

二、大边距分类器

在SVMs中，决策边界有一个特殊的属性：尽可能远离正样本和负样本。决策边界与离便觉最近样本的距离称为边距。由于 SVM 最大化此边距，因此通常称为「大边距分类器」。

大边距分类器

SVM 需要尽可能最大化边距，那么只有参数 C 值很大才能实现大边距。

因为参数 C 值很大，想要 $min~J(\theta)$ ，我们必须选择满足 $\sum_{i=1}^{m} (y^{(i)}cost_1(z) + (1-y^{(i)})cost_0(z)) = 0$ 的参数 $\theta$ 。这样，我们的优化目标：
$min~J(\theta) =min~( C*0+\frac{1} {2}\sum_{i=1}^{n}\theta_i^2 )= min~\frac{1} {2}\sum_{i=1}^{n}\theta_i^2$

2.2 数学解释：SVM 为何被称为大边距分类器？

解释之前需要讲解向量内积的知识：

向量内积数学含义

为了方便讲解，令 $n=2,\theta_0=0$ 前者方便可视化，后者使决策边界过原点。

之前讲想要最小化代价函数时，我们得到如下结论：

如果 y = 1，我们希望 $\theta^T x \geq 1$
如果 y = 0，我们希望 $\theta^T x \leq -1$

根据向量内积，得 $\theta^T x^{(i)} = p^{(i)} ||\theta||$ ，就有

如果 $y^{(i)} = 1$ ，我们希望 $p^{(i)} ||\theta|| \geq 1$
如果 $y^{(i)} = 0$ ，我们希望 $p^{(i)} ||\theta|| \leq -1$

因为只有参数 C 值很大才能实现大边距。 $min~J(\theta) \approx min \frac{1} {2}\sum_{i=1}^{n}\theta_i^2 = \frac{1} {2} (\theta_1^2 + \theta_2^2 ) = \frac{1} {2} (\sqrt{\theta_1^2 + \theta_2^2})^2 = \frac{1} {2}||\theta||^2$

三、核函数(Kernels)

核函数允许 SVM 制作复杂的非线性分类器。

给定特征 $x$ ，根据与标志 $l^{(1)},..,l^{(m)}$ 的接近度计算出新的特征 $f$ ，即

$x^{(i)} = \begin{bmatrix} f^{(i)}_1 = similarity(x^{(i)},l^{(1)})\\ f^{(i)}_2 = similarity(x^{(i)},l^{(2)})\\ ...\\ f^{(i)}_n = similarity(x^{(i)},l^{(n)}) \end{bmatrix}$

对应的，SVM 代价函数变为 $J(\theta) = C \sum^{m}_{i=1}(y^{(i)}cost_1(\theta^Tf^{(i)}) + (1-y^{(i)})cost_0(\theta^Tf^{(i)})) + \frac{1} {2} \sum^{n}_{j=1}\theta_j^2$

其中， $similarity$ 函数就是核函数。SVM 有很多核函数，不同核函数运用场景也不同。常见的核函数是「高斯核函数」，如下图所示。

高斯核函数

高斯核函数有如下的特点如下图所示。换句话说，当特征 $x$ 与标志 $l$ 越接近，新特征 $f$ 越接近 1；当特征 $x$ 与标志 $l$ 越远，新特征 $f$ 越接近 0。

高斯核函数的特点

3.1 高斯核函数如何选取标志 $l^{(1)},...,l^{(n)}$ 呢？

这里提供一种方法：让每一个样本 $x^{(i)}$ 等于每一个标志 $l^{(i)}$ ，即 $\{l^{(1)} = x^{(1)},l^{(2)} = x^{(2)},..,l^{(m)} = x^{(m)}\}$

那么，就有了 $x^{(i)} \in \mathbb{R}^{n*1} \Rightarrow f^{(i)} \in \mathbb{R}^{m*1}$ ，可以理解为 $n = m$

$x^{(i)} = \begin{bmatrix} f^{(i)}_1 = similarity(x^{(i)},l^{(1)})\\ f^{(i)}_2 = similarity(x^{(i)},l^{(2)})\\ ...\\ f^{(i)}_m = similarity(x^{(i)},l^{(m)}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f^{(i)}_1 = similarity(x^{(i)},x^{(1)})\\ f^{(i)}_2 = similarity(x^{(i)},x^{(2)})\\ ...\\ f^{(i)}_m = similarity(x^{(i)},x^{(m)}) \end{bmatrix}$

$J(\theta) = C \sum^{m}_{i=1}(y^{(i)}cost_1(\theta^Tf^{(i)}) + (1-y^{(i)})cost_0(\theta^Tf^{(i)})) + \frac{1} {2} \sum^{m}_{j=1}\theta_j^2$

3.2 参数 C 与 $\sigma$ 的取值对高斯核函数的影响

核函数的参数

2.3 核函数的选取原则

不是所有的函数都能作为核函数，核函数必须满足一个技术性要求「默塞尔定理」，需要这个条件的原因是 SVM 算法或者 SVM 实现函数有许多熟练的数值优化技巧，为了有效求解参数 $\theta$ ，在最初的假设，这些决策都是用于把我们的注意力仅仅限制于可以满足「默塞尔定理」的核函数，这个定理的所做就是确保所有的 SVM 软件包能够使用大类的优化方法从而快速求解参数 $\theta$ 。

四、SVM 的使用

现在已经有很多编写并优化过的 SVM 库可供直接调用，如 'liblinear' 和 'libsvm' 。在实际应用中，应该调用 SVM 库，而不是自己编程实现 SVM 算法。

还需要注意两点：

选用高斯核函数时，要先对原特征 $x$ 进行特征缩放；
并非所有相似性函数都是有效的核函数。它们必须满足“Mercer定理”，这保证了 SVM 包中对核函数优化的运行正确。

Tips：大部分 SVM 软件包会自动增加特征 $x_0 = 1$ ，对于这类 SVM 软件包就不需要人工在数据集中增加特征 $x_0 = 1$ 。最好，在使用某个 SVM 软件包之前，查看是否需要人为增加特征 $x_0 = 1$ 。

五、逻辑回归与 SVM 选择

n = 特征数量( $x^{(i)} \in \mathbb{R}^{n*1}$ )
m = 样本数量

当 $n \gg m$ 时，选用逻辑回归模型；
当 $n$ 较小， $m$ 适中时，选用高斯核函数的 SVM （比如n = 1~1000，m = 10~10,000）；
当 $m \gg n$ 时，就需要先增加特征后，再选用逻辑回归模型；

Tips：神经网络都能很好地应对上面几种情况，但是神经网络训练速度较慢

总结

SVM 实现步骤：

提取特征；
选择核函数，如果是高斯函数，还需要先进行特征缩放；
调用 SVM 软件包；
使用训练集训练模型，调整参数 C 和 $\sigma$ 执行 SVM；
用验证集计算模型误差率；
选择产生最小误差率的参数 C 和 $\sigma$ 。

% X, y, Xval, Yval 分别是训练集特征向量、训练集标签、验证集的特征向量、验证集标签C_list = [0.01,0.03,0.1,0.3,1,3,10,30];
sigma_list = [0.01,0.03,0.1,0.3,1,3,10,30];
min = [-1,0,0];for i = 1:size(C_list(:),1)  for j = 1:size(sigma_list(:),1)
    model= svmTrain(X, y, C_list(i), @(x, l) gaussianKernel(x, l, sigma_list(j)));
    predictions = svmPredict(model, Xval);  
    error = mean(double(predictions ~= yval));    if min(1) == -1 || min(1) > error
      min = [error, C_list(i), sigma_list(j)];    end
  endfor
endfor

作者：数据搬瓦工
链接：https://www.jianshu.com/p/a2b23d501ca3

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