## 问题描述
两个有序的数组 **nums1** 和 **nums2** ，它们的数组长度分别为 m 和 n。要求找到这两个数组的中位数，且总体的时间复杂度必须为 $O(\log(m+n))$。
假设 **nums1** 和 **nums2** 都不为空。
**例 1：**
```
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
中位数为 2.0
```
**例 2：**
```
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
中位数为 (2 + 3)/2 = 2.5
```
## 问题难度
**`Hard`**
## 解题思路
做第一遍时，使用的遍历的办法，即按照从小到大的顺序，分别遍历两个队列，一直遍历到 $(m+n)/2$ 的位置，即是我们所要的中位数，当时心想，这也太简单了吧，`Hard` 级别也不过如此。
再仔细看题目，它还有个时间复杂度为 $O(\log(m+n))$ 的要求，而我的方案的时间复杂度却为 $O(n)$，并不满足题目条件，可见，单这个条件就值 `Hard` 级别了。
解这道题的关键并不是高超的算法，而是心中要有一副这样的图：
```
left side | right side
nums1: A(0),A(1),...,A(i-1) | A(i),...,A(m-1)
nums2: B(0),B(1),...,B(j-1) | B(j),...,B(n-1)
```
我们把两个数组看成一个整体，有一根竖线将其中的元素从中间分开，且左边的部分和右边部分的元素相同（总数为奇数情况下，左边比右边多 1 个元素），那么当 $m+n$ 为偶数时，中位数为 $[max(A(i-1),B(j-1)) + min(A(i)+B(j))]\div2$ ，当 $m+n$ 为奇数时，中位数为 $max(A(i-1),B(j-1))$
我们都知道，左边的元素为 $i+j$ 个，而左右两边元素相同，则
$$
i + j = \frac{m+n+1}{2}
$$
我们可以用 i 来表示 j，则
$$
j = \frac{m+n+1}{2} - i
$$
所以，该题就变成了，在数组 A 中寻找一个 i，使得 $A(i) \ge B(j-1)$，且 $B(j) \ge A(i-1)$ 成立，这两个不等式的含义是，竖线右边最小的数一定不比左边最大的数小，满足该条件，我们就可以说找到了这个竖线。
我们在找 i 的过程中，难免会碰到 $A(i) < B(j-1) $ 时候，此时我们需要将 i 向右移，使 $A(i)$ 增大，当 i 右移，i 增大的同时，j 会减少，即 $B(j-1)$ 的值会变小，这样操作 i 之后，会让我们更接近目标；同理，当 $B(j) < A(i-1)$ 时，我们需要将 i 向左移。
通过上面的分析，我们最终可以使用二分查找法来寻找这个 i 值，又由于二分查找的时间复杂度为 $O(\log(n))$，这种方法可以满足题目的要求。
思路说完了，下面来说下该题目的边界条件，由于 j 是通过减去 i 算出来的，而 i 的最大值为 m（A 全在左边时），所以为了使 j 不为负数，数组 A 需要为两个数组中，元素数较少的那个。
当 i 为 0 时，数组 A 全在右边，我们只需要判断 $A(i) \ge B(j-1)$ 成立；当 i 为 m 时，数组 A 全在左边，只需判断 $B(j) \ge A(i-1)$ 成立
同理当 j 为 0 时，数组 B 全在右边，我们只需判断 $B(j) \ge A(i-1)$ 成立；当 j 为 n 时，数组 B 全在左边，只需判断 $A(i) \ge B(j-1)$ 即可
于是，我们可以写出下面的代码：
```python
class Solution(object):
def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
m, n = len(nums1), len(nums2)
if m > n:
m, n, nums1, nums2 = n, m, nums2, nums1
if m == 0 and n == 0:
return None
begin = 0
end = m
i = j = 0
while True:
i = (begin + end) / 2
j = (m + n + 1) / 2 - i
if (i == 0 or j == n or nums2[j] >= nums1[i-1]) and\
(i == m or j == 0 or nums1[i] >= nums2[j-1]):
left_max = 0
if i == 0: left_max = nums2[j-1]
elif j == 0: left_max = nums1[i-1]
else: left_max = max(nums1[i-1],nums2[j-1])
if (m+n)%2 != 0:
return left_max
right_min = 0
if i == m: right_min = nums2[j]
elif j == n: right_min = nums1[i]
else: right_min = min(nums1[i], nums2[j])
return (left_max + right_min)*1.0/2
elif j < n and i > 0 and nums2[j] < nums1[i-1]:
end = i - 1
elif j > 0 and i < n and nums1[i] < nums2[j-1]:
begin = i + 1
```
这道题直接看代码是很难理解的，但如果心中有前文说的那张图，便可以沿着思路慢慢化解，可见要达到题目的要求并不简单，`Hard` 难度名不虚传。
[原题链接](https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/)
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