传递闭包及其构造

传递闭包及其构造

定义：

有一天我在思考这样一个问题：我知道从图书馆到梅园是连通的，并且知道从图书馆到操场是连通的，可是我并不知道从梅园到操场的路线，所以在我的地图里，梅园和操场是连通的，但不是直接连通的，那么类似的，我应该如何查询两个不直接连通的点之间的可达性。

传递闭包其实就是这样一个问题，，对于一个关系R，我们可以构造一个关系S，满足以下条件：

• R⊆S
• S是传递的
• S是所有包含关系R的传递关系的子集

那么，我们称S是R的传递闭包。

传递闭包的构造

如果(x,y)∈R，那么有向图G上存在一条从x到y长度为1的有向边，于是我们得到了关系R的有向图表示。

那么有以下结论：

• 设R是A上的关系，从a到b有一条长度为n的路径，当且仅当(a,b)∈RnR^nRn

证明如下：

使用数学归纳法。
(1)n=1时，从a到b存在一条长为1的路径，当且仅当(a,b)∈R，结论为真。
(2)对于正整数n，结论为真。从a到b存在一条长度为n+1的路径，当且仅当存在一条从a到c的长度为1的路径并且存在一条从c到b的长度为n的路径，即存在c∈A，使得(a,c)∈R，(c,b)∈RnR^nRn，等价于(a,b)∈RnR^nRn。因此，从a到b存在一条长度为n+1的路径，当且仅当(a,b)∈Rn+1R^{n+1}Rn+1。结论得证。

我们可以证明，构造一个关系的传递闭包，等价于在有向图中确定顶点之间是否存在路径。
也就是说我们可以这样来构造关系R的传递闭包S：

$S$=∪k=1∞\cup_{k=1}^∞∪k=1∞​RkR^kRk

证明如下：

(1)S是传递的，如果(a,b)∈S并且(b,c)∈S,那么也就是说有向图上存在从a到b的路径和从b到c的路径，那么必然存在从a到c的路径，也就是(a,c)∈S。
(2)对于任意的包含R的传递关系S0S_0S0​，都有S⊆S0S_0S0​。首先我们需要使用一个定理：如果集合R是传递的，那么RnR^nRn⊆$R$(n=1.2…)。我们稍后再证明其正确性。那么，因为S0S_0S0​是包含R的传递关系，所以S0nS_0^nS0n​⊆S0S_0S0​(n=1,2…)，那么对于S∗=∪k=1∞S0kS^*=\cup_{k=1}^∞S_0^kS∗=∪k=1∞​S0k​，S∗S^*S∗⊆S0S_0S0​，因为R⊆S0S_0S0​，所以有S=∪k=1∞RkS=\cup_{k=1}^∞R^kS=∪k=1∞​Rk⊆S∗S^*S∗⊆S0S_0S0​，又因为R⊆$S$，所以可证明对于S属于任意包含R的传递关系。
(3)综上可证明S为关系R的传递闭包。

下面我们证明上面的证明遇到的定理：如果集合R是传递的，那么RnR^nRn⊆$R$(n=1.2…)。
证明如下：

(1)使用数学归纳法证明。n=1时，定理显然成立。
(2)假设对于正整数n，定理成立，假设(a,b)∈Rn+1R^{n+1}Rn+1，因为Rn+1R^{n+1}Rn+1=RnR^{n}Rn$R$，所以存在x∈A，满足(a,x)∈RnR^nRn，并且(x,b)∈$R$，又因为RnR^nRn⊆$R$，所以(a,x)∈$R$，因为$R$是传递的，所以(a,b)∈$R$，即可证明n+1时，定理成立。
(3)综上可证明对于n=1,2,…，如果集合R是传递的，那么RnR^nRn⊆$R$。

由鸽巢原理，我们可以获得，S=∪k=1∞Rk=∪k=1nRkS=\cup_{k=1}^∞R^k=\cup_{k=1}^nR^kS=∪k=1∞​Rk=∪k=1n​Rk。（可以仿照n个点的有向图中如果两点之间存在路径，那么这两点之间一定存在一条长度不超过n的路径来证明。）

显然，这个最原始的求传递闭包的算法是O(n4)O(n^4)O(n4)，Warshell算法对其进行了优化，把时间复杂度优化到了O(n3)O(n^3)O(n3)。

Warshell算法

我们使用一系列0-1矩阵W0W_0W0​、W1W_1W1​、…、WnW_nWn​来储存有向图的信息，设有向图中的顶点为(1,2,…,n)，定义WkW_kWk​中$w[i][j][k]=1$代表从$i$到$j$存在一条路径，这条边上的内部顶点(也就是这条路径上除去起点和终点以外的点)全部属于(1,2,…,k)。其中W0W_0W0​是关系R的原始矩阵，WnW_nWn​为关系R的传递闭包。

显然我们可以通过Wk−1W_{k-1}Wk−1​来直接计算WkW_kWk​，如果$w[i][j][k]=1$，只有以下两种情况：

(1)$w[i][j][k-1]=1$
(2)$w[i][k][k-1]=1$并且$w[k][j][k-1]=1$

于是我们可以得到Wk−1W_{k-1}Wk−1​到WkW_kWk​的转移方程：

$w[i][j][k]=w[i][j][k-1]$$\cup$$(w[i][k][k-1]$$\cap$$w[k][j][k-1])$

伪代码如下：

for k:=1 to n
	for i:=1 to n
		for j:= 1 to n
			w[i][j]:=w[i][j]|(w[i][k]&w[k][j])

显然时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)。