为了账号安全,请及时绑定邮箱和手机立即绑定

【动态规划】一次搞定三种背包问题

2019.05.11 18:18 942浏览

前文链接

说明

看完前面四篇关于背包问题的文章,你会发现背包问题其实也不过如此,而且它们之间有很多相似的地方,本篇文章就来揭开它们面纱,将背包问题彻底搞定。

三种背包问题的比较

先来回顾一下三个背包问题的定义:

01背包:
有N件物品和一个容量为V的背包,第i件物品消耗的容量为Ci,价值为Wi,求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

完全背包:
有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用,第i件物品消耗的容量为Ci,价值为Wi,求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

多重背包:
有N种物品和一个容量为V的背包,第i种物品最多有Mi件可用,每件物品消耗的容量为Ci,价值为Wi,求解入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

三种背包问题都有一个共同的限制,那就是背包容量,背包的容量是有限的,这便限制了物品的选择,而三种背包问题的共同目的,便是让背包中的物品价值最大。

不同的地方在于物品数量的限制,01背包问题中,每种物品只有一个,对于每种物品而言,便只有选和不选两个选择。完全背包问题中,每种物品有无限多个,所以可选的范围要大很多。在多重背包问题中,每种物品都有各自的数量限制。

三种背包问题虽然对于物品数量的限制不一样,但都可以转化为01背包问题来进行思考。在完全背包问题中,虽然每种物品都可以选择无限个,但由于背包容量有限,实际上每种物品可以选择的数量也是有限的,那么将每种物品都看做是 V/Ci 种只有一件的不同物品,不就成了01背包问题吗?对于多重背包也是如此,只是每种物品的膨胀数量变成了 min{Mi, V/Ci}。

所以说,01背包问题是所有背包问题的基础,弄懂了01背包问题后,完全背包和多重背包就没有什么难的地方了。

下面我们来对比一下三种背包问题的状态转移方程,以便更好的理解它们之间的联系:

01背包的状态转移方程:

F[i,v] = max{F[i-1,v], F[i-1,v-Ci] + Wi}

完全背包的状态转移方程:

F[i,v] = max{F[i-1,v-kCi] + kWi | 0 <= kCi <= v}

多重背包的状态转移方程:

F[i,v] = max{F[i-1,v-kCi] + kWi | 0 <= k <= Mi}

把这三个方程放到一起,便能很清晰的看到它们之间的关系了,三种背包问题都是基于子问题来选取价值最大的一个,只是选择的范围不一样。

01背包考虑的是选和不选,所有只需要比较两种策略的最大值即可,而完全背包和多重背包要考虑的是选几个的问题。

这样说也许还是不够形象,举个栗子就能比较好的说明了:

假设背包容量为10,有两个物品可选,价值分别为:3,2,容量占用分别为,4,3。

初始状态:

01背包的填表法:

完全背包的填表法:

多重背包的填表法:

假设两种物品的可选数量分别为:2,1.

下面再来看看三种背包问题的一维数组解决方案。

01背包:

for i <- 1 to N
    for v <- V to Ci
        F[v] = max{F[v],F[v-Ci] + Wi}

将其核心部分抽象出来:

def ZeroOneKnapsack(F,C,W)
    for v <- V to C
        F[v] = max{F[v],F[v-C] + W}

则01背包问题可以表示为:

for i <- 1 to N
    ZeroOneKnapsack(F,Ci,Wi)

N代表物品数量,Ci代表第i个物品占用的容量,V代表背包总容量,Wi代表第i个物品的价值,下同。

完全背包:

for i <- 1 to N
    for v <- Ci to V
        F[v] = max{F[v],F[v-Ci] + Wi}

将其核心部分抽象出来:

def CompleteKnapsack(F,C,W)
    for v <- C to V
        F[v] = max{F[v],F[v-C] + W}

则完全背包问题的解可以表示为:

for i <- 1 to N
    CompleteKnapsack(F,Ci,Wi)

多重背包:

for i <- 1 to N
    if v < Ci * Mi
        F[v] = max{F[v],F[v-Ci] + Wi}
    else
        for v <- Ci to V
            k <- 1
            while k < M && v > Ci * k
                F[v] = max{F[v],F[v-Ci*k] + Wi*k}
                k++

抽象出核心逻辑:

def MultiKnapsack(F,C,W,M)
    if C * M >= V
        CompleteKnapsack(F,C,W)
        return
    else
        k <- 1
        while k < M
            ZeroOneKnapsack(F,KC,KW)
            k++
        return

则多重背包问题的解可以表示为:

for i <- 1 to N
    MultiKnapsack(F,Ci,Wi,Mi)

Mi 代表第i件物品最多可选数量

混合背包问题

现在我们来考虑一种更为复杂的情况,如果可选的物品同时具有上述三种特性,即:有的物品只能选一个,有的物品可以选择任意多个,有的物品只能选择有限多个,那么此时该如何决策呢?

其实有了上面的总结和抽象,这种混合背包问题就小菜一碟了。

回顾一下上面的三种背包问题的抽象解,就会发现他们每次都只会考虑一种物品,区别只在于第i个物品的可选策略。所以对于混合背包问题,同样也可以一个一个物品考虑,如果这个物品是最多选一个,那么就采用01背包的解决策略,如果是可以选择任意多个,那么就使用完全背包的解决策略,如果只能选择有限多个,那么就使用多重背包的解决策略。

伪代码如下:

for i <- 1 to N
    if 第i件物品属于01背包
        ZeroOneKnapsack(F,Ci,Wi)
    else if 第i件物品属于完全背包
        CompleteKnapsack(F,Ci,Wi)
    else if 第i件物品属于多重背包
        MultiKnapsack(F,Ci,Wi,Mi)

总结

到此为止,我们就已经比较完美的解决了三种背包问题,顺便还解决了一下混合背包问题。虽然条件各不相同,但是解题思路却很相似,相信经过这一篇文章的总结,你对于背包问题也会有更好的理解,并且领会到这种抽象问题的好处。

当然,更深层次的背包问题还有很多,比如二维费用问题,物品依赖问题,鉴于博主学疏才浅,暂时也没有探索的兴趣,所以就不一一进行说明了,有兴趣的话可以自行搜索相关内容。

如果本文对你有帮助,不要吝啬你的点赞哦。

点击查看更多内容

本文原创发布于慕课网 ,转载请注明出处,谢谢合作

2人点赞

若觉得本文不错,就分享一下吧!

评论

相关文章推荐

正在加载中
意见反馈 邀请有奖 帮助中心 APP下载
官方微信

举报

0/150
提交
取消