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翻译《计算机科学与数学》第一章第六节:证明“当且仅当”

2019.09.05 17:54 1352浏览

许多数学定理这样断言两个陈述在逻辑上相等,即一个陈述成立当且仅当另一个陈述成立。有一个几千年来被熟知的例子:当且仅当两个三角形的两边及两边的夹角相等,这两个三角形的边长相等。

短语”当且仅当“经常出现,通常被简写为”iff“。


1.6.1 方法一:证明每个陈述蕴含另一个


陈述”P当且仅当Q“等同于两个表述”P蕴含Q“和”Q当且仅当P“。

所以通过证明两个蕴含式来证明”当且仅当“:

  1. 写下,”我们证明P蕴含Q,反之亦然“。

  2. 写下,”首先,我们证明P蕴含Q“。通过章节1.5中的方法证明。

  3. 写下,”现在,我们证明Q蕴含P“。再通过章节1.5中的方法证明。


1.6.2 方法二:构建一系列当且仅当


为了证明当且仅当Q为真,P为真:

  1. 写下,”我们构建一系列当且仅当的蕴含式“。

  2. 证明 P 等价于第二个陈述,第二个陈述等同于第三个陈述,以此类推直到Q。

这个方法有时候比方法一需要更多聪明才智,但是结果可能得到一个简短优雅的证明。

例子

一系列值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn 的标准差被定义为:

http://img2.sycdn.imooc.com/5d70da640001e69d06060138.jpg

μ 是平均值或者值的平均数:

http://img4.sycdn.imooc.com/5d70da7e00014d1904070098.jpg


定理 1.6.1。当且仅当所有的值等于平均值,一系列值 x1,...,xnx_1,...,x_nx1,...,xn 的标准差等于0.

例如,当且仅当每个人的得分确切地等于班级平均值,考试分数的标准差为0。

证明。我们构建一系列“当且仅当”的蕴含式,以标准差(1.3)等于0开始:

http://img1.sycdn.imooc.com/5d70daa40001152106220126.jpg

现在因为对于平方根为0的某个数而言,0是唯一的数值,所以等式(1.4)成立,当且仅当

http://img1.sycdn.imooc.com/5d70dac100011d9505810101.jpg

实数的配方总是为非负数,所以等式左边的每一项是非负数。这就意味着(1.5)成立,当且仅当

                    (1.5)左手边的每一项是0.                                 (1.6)

http://img1.sycdn.imooc.com/5d70db3400011ba206420190.jpg




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