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(十五)从零开始学人工智能-深度学习基础2

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​ 在前面的文章中,介绍了全连接神经网络(DNN)和卷积神经网络(CNN),以及它们的训练和使用。回忆一下,它们都是能单独的处理一个个的输入,前一个输入和后一个输入是完全没有关系的。然后,现实当中是,某些任务需要能够更好的处理序列性质的信息,即前面的输入和后面的输入是有关系的。例如,当我们理解一句话意思时,孤立的理解这句话的每个词都是不够的,我们需要处理这些词连接起来的整个序列;当我们处理视频时,也不能只单独的去分析每一帧,而要分析这些帧连接起来的整个序列。这时,使用我们前文介绍的DNN和CNN是不够的,而需要用到深度学习领域中另一类非常重要的神经网络:循环神经网络(Recurrent Neural Network, RNN)。RNN种类繁多,过程繁琐,本部分首先对其结构进行剥茧抽丝,以理解RNNs及其训练算法;进一步地,介绍两中常见的RNN类型:长短时记忆网络(Long Short-Term Memory Network,LSTM),门控循环单元(Gated Recurrent Unit, GRU)。

为什么要从语言模型开始呢?因为,RNN是在自然语言处理领域中最先被用起来的,例如,RNN可以构建语言模型。那什么是语言模型呢?

我们可以让电脑做这样一个练习:写出一个句子前面的一些词,然后,让电脑帮我们写出接下来的一个词。比如下面这句话:

我昨天上学迟到了,老师批评了____。

在这个句子中,接下来的词最有可能的是“我”,而不是“小明”,更不会是“吃饭”。

在这个例子中,语言模型是这样的一个东西:给定一个一句话前面的部分,预测接下来最有可能的一个词是什么。

语言模型是对一种语言的特征进行建模,它有很多用处。比如在语音转文本(STT)的应用中,声学模型输出的结果,往往是若干个可能的候选词,这时候就需要语言模型来从这些候选词中选择一个最有可能的。当然,它同样也可以用在图像到文本的识别中国(OCR)。

在使用RNN之前,语言模型主要采用N-Gram算法。N是一个自然数,比如2或者3.它的含义是:假设一个词出现的概率只与前面N个词相关。我们以2-Gram为例,对这句话给出部分进行分词:

我|昨天|上学|迟到|了|,|老师|批评|了|____。

如果用2-Gram进行建模,那么电脑在预测的时候,只会看到前面的“了”,然后,电脑会在语料库中,搜索“了”后面最有可能的一个词。不管最后电脑选择的是不是“我”,显然这个模型是不靠谱的,因为“了”前面说了那么一大推实际上是没有用到的。如果使用3-Gram模型呢,会搜索“批评了”后面最有可能的词,感觉比2-Gram靠谱了不少,但还是远远不够的。因为这句话最关键的信息“我”,远在9个词之前。

看到这儿,大家可能会想,可以继续提升N的值呀,比如4-Gram、5-Gram、\dots…。实际上,大家再深入想一下就会发现,这个想法是没有实用性的,因为当我们想处理任意长度的句子时,N设为多少都是不合适的;另外,模型的大小和N的关系是指数级的,4-Gram模型就会占用海量的存储空间。

所以,就该轮到RNN出场了,RNN理论上可以往前看(或往后看)任意多个词。

循环神经网络种类繁多,我们先从最简单的基础循环神经网络开始吧~

下图是一个简单的循环神经网络,它由输入层、一个隐藏层和一个输出层组成:

循环神经网络的实在是太难画出来了,网上所有大神们都不得不用了这种抽象的手法。不过,仔细看的话,如果把上面有WW的那个带箭头的圈去掉,它就变成了最普通的全连接网络了。xx是一个向量,它表示输入层的值(这里没有画出来表示输入层神经元节点的圆圈),ss是一个向量,它表示隐藏层的值(这里隐藏层画了一个节点,你也可以想象这一层其实是多个节点,节点数目与向量ss的维度相同);UU是输入层到隐藏层的权重矩阵;OO也是一个向量,它表示输出层的值;VV是隐藏层到输出层的权重矩阵。那么,现在我们来看看WW是什么,循环神经网络的隐藏层的值ss不仅仅取决于当前这次输入xx,还取决于上一次隐藏层的值ss。权重矩阵WW就是隐藏层上一次的值作为这一次的输入的权重。

如果我们把上面的图展开,循环神经网络的也可以画成下面的样子:

现在看上去就比较清晰了,这个网络在tt时刻接收到输入x_txt​之后,隐藏层的值是s_tst​,输出值是o_tot​。关键一点是,s_tst​的值不仅仅取决于x_txt​,还取决于s_{t-1}st−1​。我们可以用下面的公式来表示循环神经网络的计算方法:

​o_t=g(Vs_t) \tag{1}ot​=g(Vst​)(1)

​s_t = f(Ux_t+Ws_{t-1}) \tag{2}st​=f(Uxt​+Wst−1​)(2)

式1是输出层的计算公式,输出层是全连接层,也就是它的节点都是和隐藏层的每个节点相连。VV是一个输出层的权重矩阵,gg是激活函数。式2是隐藏层的计算公式,它是循环层。UU是输入xx的权重矩阵,WW是上一次输出值s_{t-1}st−1​作为这一次输入的权重矩阵,ff是激活函数。

从上面的公式我们可以看出,循环层和全连接层的区别就是循环层多了一个权重矩阵WW。

如果反复把式2带入到式1,我们可以得到:

​\begin{aligned}o_t &=g(Vs_t) \ &=Vf(Ux_1+Ws_{t-1})\ &=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Ws_{t-2}))\&=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Wf(Ux_{t-2}+Ws_{t-3})))\ &=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Wf(Ux_{t-2}+Wf(Ux_{t-3}+\dots)))) \end{aligned}ot​​=g(Vst​)=Vf(Ux1​+Wst−1​)=Vf(Uxt​+Wf(Uxt−1​+Wst−2​))=Vf(Uxt​+Wf(Uxt−1​+Wf(Uxt−2​+Wst−3​)))=Vf(Uxt​+Wf(Uxt−1​+Wf(Uxt−2​+Wf(Uxt−3​+…))))​

从上面可以看出,循环神经网络的输出值o_tot​,是受前面历次输入值X_tXt​、X_{t-1}Xt−1​、X_{t-2}Xt−2​、\dots…影响的,这也是为什么循环神经网络可以往前看任意多个输入值的原因。

对于语言模型来说,很多时候光看前面的词是不够的,比如下面这句话:

我的手机坏了,我打算____一部新手机。

可以想象的是,如果我们只看到横线前面的词,手机坏了,那么我是打算修一修?换一部新的手机?还是哭哭?这些都是无法确定的。但是如果我们还看到横线后面的词是“一部新手机”,那么,横线上的词填“买”的概率就大得多了。

在上一节中的基本循环神经网络是无法对此进行建模的,因此,我们需要双向循环神经网络,如下图所示:

当遇到这种从未来穿越回来的场景时,难免处于懵逼的状态。不过我们还是可以用屡试不爽的老办法:先分析一个特殊场景,然后再总结一般的规律。我们先考虑上图中,y_2y2​的计算。

从上图可以看出,双向循环神经网络的隐藏层要保存两个值,一个AA参与正向计算,另一个值A’A′参与计算。最终的输出值y_2y2​取决于A_2A2​和A_2’A2′​。其计算方法为:

​ y_2=g(VA_2+V’A_2’)y2​=g(VA2​+V′A2′​)

其中A_2A2​和A_2’A2′​的计算为:

​ A_2=f(WA_1+UX_2)A2​=f(WA1​+UX2​)

​ A_2’=f(W’A_3’+U’X_2)A2′​=f(W′A3′​+U′X2​)

至此,我们已经可以看出一般的规律:正向计算时,隐藏层的值S_tSt​与S_{t-1}St−1​有关;反向计算时,隐藏层的值S_t’St′​与S_{t+1}'St+1′​有关;最终的输出取决于正向和反向计算的加和。现在,我们仿照式1和式2,写出双向循环神经网络的计算方法:

​ O_t=g(VS_t+V’S_t’)Ot​=g(VSt​+V′St′​)

​ S_t=f(UX_t+WS_{t-1})St​=f(UXt​+WSt−1​)

​ S_t’=f(U’X_t+W’S_{t+1}’)St′​=f(U′Xt​+W′St+1′​)

从上面的三个公式可以看到,正向计算和反向计算不共享权重,也就是说UU和U’U′,WW和W’W′,VV和V’V′都是不同的权重矩阵。

前面我们介绍的循环神经网络只有一个隐藏层,当然了,也可以堆叠两个以上的隐藏层,这样就得到了深度循环神经网络。如下图所示:

我们把第ii个隐藏层的值表示为S_t{(i)}St(i)​、S_t’{(i)}St′(i)​,则深度循环神经网络的计算方式可以表示为:

​ O_t=g(V{(i)}S_t{(i)}+V’{(i)}S_t’{(i)})Ot​=g(V(i)St(i)​+V′(i)St′(i)​)

​ S_t{(i)}=f(U{(i)}S_t{i-1}+W{(i)}S_{t-1})St(i)​=f(U(i)Sti−1​+W(i)St−1​)

​ S_t’{(i)}=f(U’{(i)}S_t’{(i-1)}+W’{(i)}S_{t+1}’)St′(i)​=f(U′(i)St′(i−1)​+W′(i)St+1′​)

​ \cdots⋯

​ S_t{(1)}=f(U{(1)}X_t+W^{(1)}S_{t-1})St(1)​=f(U(1)Xt​+W(1)St−1​)

​ S_t’{(1)}=f(U’{(1)}X_t+W’^{(1)}S_{t+1}’)St′(1)​=f(U′(1)Xt​+W′(1)St+1′​)

BPTTBPTT算法是针对循环层的训练算法,它的基本原理和BPBP算法是一样的,也包含同样的三个步骤:

前向计算每个神经元的输出值;

反向计算每个神经元的误差项\delta_jδj​值,它是误差函数EE对神经元jj的加权输入net_jnetj​的偏导数;

计算每个权重的梯度。

循环层如下图所示:

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最后再用随机梯度下降算法更新权重。

前向计算

使用前面的式2对循环层进行前向计算:

​ S_t=f(UX_t+WS_{t-1})St​=f(UXt​+WSt−1​)

注意:上面的S_tSt​、X_tXt​、S_{t-1}St−1​都是向量,用黑体字母表示(在这里都用大写替代表示了😂,将就看吧❤️);而UU、VV是矩阵,用大写字母表示。向量的下标表示时刻,例如,S_tSt​表示在tt时刻向量SS的值。

我们假设输入向量XX的维度是mm,输出向量SS的维度是nn,则矩阵UU的维度是nn x mm,矩阵WW的维度是nn x nn。下面是我们上式展开成矩阵的样子,看起来更直观一些:

​\left[ \begin{matrix} s_1^t \ s_2^t \ \vdots \ s_n^t \end{matrix} \right]=f(\left[ \begin{matrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1m}\ u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2m} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ u_{n1} & u_{n2} & \cdots & u_{nm} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_m \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n}\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nm} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ s_2^{t-1} \ \vdots \ s_n^{t-1} \end{matrix} \right])⎣⎢⎢⎢⎡​s1t​s2t​⋮snt​​⎦⎥⎥⎥⎤​=f(⎣⎢⎢⎢⎡​u11​u21​⋮un1​​u12​u22​⋮un2​​⋯⋯⋱⋯​u1m​u2m​⋮unm​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xm​​⎦⎥⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎡​w11​w21​⋮wn1​​w12​w22​⋮wn2​​⋯⋯⋱⋯​w1n​w2n​⋮wnm​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​s2t−1​⋮snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​)

上式中,手写体字母表示向量的一个元素,它的下标表示它是这个向量的第几个元素,它的上标表示第几个时刻。例如,s_j^tsjt​表示向量SS的第jj个元素在tt时刻的值;u_{ji}uji​表示输入层第ii个神经元到循环层第jj个神经元的权重;w_{ji}wji​表示循环层第t-1t−1时刻的第ii个神经元到循环层第tt个时刻的第jj个神经元的权重。

误差项的计算

BTPPBTPP算法将第ll层tt时刻的**误差项\delta_tlδtl​**值沿两个方向传播,一个方向是其传递到上一层网络,得到\delta_t{l-1}δtl−1​,这一部分只和权重矩阵UU相关;另一个方向是将其沿时间线传递到初始时刻t_1t1​,得到\delta_1^lδ1l​,这部分只和权重矩阵WW相关。

我们用向量net_tnett​表示神经元在tt时刻的加权输入,得到:

​ net_t=UX_t+WS_{t-1}nett​=UXt​+WSt−1​

​ S_{t-1}=f(net_{t-1})St−1​=f(nett−1​)

因此:

​ \frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}}=\frac{\partial net_t}{\partial S_{t-1}}\frac{\partial S_{t-1}}{\partial net_{t-1}}∂nett−1​∂nett​​=∂St−1​∂nett​​∂nett−1​∂St−1​​

约定:我们使用aa表示列向量,用a^TaT表示行向量。

上式第一项是向量函数对向量求导,其结果为JacobianJacobian矩阵:

​\begin{aligned}\frac{\partial net_t}{\partial S_{t-1}} &=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial net_1^t}{\partial S_1^{t-1}} & \frac{\partial net_1^t}{\partial S_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial net_1^t}{\partial S_n^{t-1}} \ \frac{\partial net_2^t}{\partial S_1^{t-1}} & \frac{\partial net_2^t}{\partial S_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial net_2^t}{\partial S_n^{t-1}} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial net_n^t}{\partial S_1^{t-1}} & \frac{\partial net_n^t}{\partial S_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial net_n^t}{\partial S_n^{t-1}} \end{matrix} \right] \ &=\left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n}\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nm} \end{matrix} \right]\ &=W \end{aligned}∂St−1​∂nett​​​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​∂S1t−1​∂net1t​​∂S1t−1​∂net2t​​⋮∂S1t−1​∂netnt​​​∂S2t−1​∂net1t​​∂S2t−1​∂net2t​​⋮∂S2t−1​∂netnt​​​⋯⋯⋱⋯​∂Snt−1​∂net1t​​∂Snt−1​∂net2t​​⋮∂Snt−1​∂netnt​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​w11​w21​⋮wn1​​w12​w22​⋮wn2​​⋯⋯⋱⋯​w1n​w2n​⋮wnm​​⎦⎥⎥⎥⎤​=W​

同理,上式第二项也是一个JacobianJacobian矩阵:

​\begin{aligned}\frac{\partial S_{t-1}}{\partial net_{t-1}} &=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial S_1^{t-1}}{\partial net_1^{t-1}} & \frac{\partial S_1^{t-1}}{\partial net_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial S_1^{t-1}}{\partial net_n^{t-1}} \ \frac{\partial S_2^{t-1}}{\partial net_1^{t-1}} & \frac{\partial S_2^{t-1}}{\partial net_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial S_2^{t-1}}{\partial net_n^{t-1}} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial S_n^{t-1}}{\partial net_1^{t-1}} & \frac{\partial S_n^{t-1}}{\partial net_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial S_n^{t-1}}{\partial net_n^{t-1}} \end{matrix} \right] \ &=\left[ \begin{matrix} f’(net_1^{t-1}) & 0 & \cdots & 0 \ 0 & f’(net_2^{t-1}) & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & f’(net_n^{t-1}) \end{matrix} \right]\ &=diag[f’(net_{t-1})] \end{aligned}∂nett−1​∂St−1​​​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​∂net1t−1​∂S1t−1​​∂net1t−1​∂S2t−1​​⋮∂net1t−1​∂Snt−1​​​∂net2t−1​∂S1t−1​​∂net2t−1​∂S2t−1​​⋮∂net2t−1​∂Snt−1​​​⋯⋯⋱⋯​∂netnt−1​∂S1t−1​​∂netnt−1​∂S2t−1​​⋮∂netnt−1​∂Snt−1​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​f′(net1t−1​)0⋮0​0f′(net2t−1​)⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮f′(netnt−1​)​⎦⎥⎥⎥⎤​=diag[f′(nett−1​)]​

diag[a]diag[a]表示根据向量aa创建一个对角矩阵,即

​\begin{aligned}diag(a) &=\left[ \begin{matrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & a_2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{matrix} \right] \end{aligned}diag(a)​=⎣⎢⎢⎢⎡​a1​0⋮0​0a2​⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮an​​⎦⎥⎥⎥⎤​​

最后,将两项合在一起,得到:

​\begin{aligned}\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}} &=\frac{\partial net_t}{\partial S_{t-1}}\frac{\partial S_{t-1}}{\partial net_{t-1}} \ &=Wdiag[f’(net_{t-1})] \ &=\left[ \begin{matrix} w_{11}f’(net_1^{t-1}) & w_{12}f’(net_2^{t-1}) & \cdots & w_{1n}f’(net_n^{t-1})\ w_{21}f’(net_1^{t-1}) & w_{22}f’(net_2^{t-1}) & \cdots & w_{2n}f’(net_n^{t-1}) \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1}f’(net_1^{t-1}) & w_{n2}f’(net_2^{t-1}) & \cdots & w_{nm}f’(net_n^{t-1}) \end{matrix} \right] \end{aligned}∂nett−1​∂nett​​​=∂St−1​∂nett​​∂nett−1​∂St−1​​=Wdiag[f′(nett−1​)]=⎣⎢⎢⎢⎡​w11​f′(net1t−1​)w21​f′(net1t−1​)⋮wn1​f′(net1t−1​)​w12​f′(net2t−1​)w22​f′(net2t−1​)⋮wn2​f′(net2t−1​)​⋯⋯⋱⋯​w1n​f′(netnt−1​)w2n​f′(netnt−1​)⋮wnm​f′(netnt−1​)​⎦⎥⎥⎥⎤​​

上式描述了将\deltaδ沿着时间往前传递一个时刻的规律,有了这个规律,我们就可以求得任意时刻kk的误差项\delta_kδk​:

​\begin{aligned}\delta_k^T &=\frac{\partial E}{\partial net_k} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial net_k} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}}\frac{\partial net_{t-1}}{\partial net_{t-2}} \cdots \frac{\partial net_{k+1}}{\partial net_k} \ &=Wdiag[f’(net_{t-1})]Wdiag[f’(net_{t-2})] \cdots Wdiag[f’(net_k)]\delta_t^l \ &=\delta_tT\prod_{i=k}{t-1}Wdiag[f’(net_i)] \end{aligned} \tag{3}δkT​​=∂netk​∂E​=∂nett​∂E​∂netk​∂nett​​=∂nett​∂E​∂nett−1​∂nett​​∂nett−2​∂nett−1​​⋯∂netk​∂netk+1​​=Wdiag[f′(nett−1​)]Wdiag[f′(nett−2​)]⋯Wdiag[f′(netk​)]δtl​=δtT​i=k∏t−1​Wdiag[f′(neti​)]​(3)

上式就是将误差沿时间反向传播的算法。

误差项传递到上一层

循环层将误差项反向传播到上一层网络,与普通的全连接是完全一样的,这在全面的文章中已经详细介绍过,此处仅简要介绍:

循环层的加权输入netlnetl与上一层的加权输入net{l-1}netl−1关系如下:

​ net_tl=Ua_t{l-1}+WS_{t-1}nettl​=Uatl−1​+WSt−1​

​ a_t{l-1}=f{l-1}(net_t^{l-1})atl−1​=fl−1(nettl−1​)

上式中的net_t^lnettl​是第ll层神经元的加权输入(假设第ll 层是循环层);net_t{l-1}nettl−1​是第l-1l−1层神经元的加权输入;a_t{l-1}atl−1​是第l-1l−1层神经元的输出;f^{l-1}fl−1是第l-1l−1层的激活函数。

​\begin{aligned}\frac{\partial net_t^l}{\partial net_t^{l-1}} &=\frac{\partial net^l}{\partial a_t^{l-1}}\frac{\partial a_t^{l-1}}{\partial net_t^{l-1}} \ &=Udiag[f’{l-1}(net_t{l-1})] \end{aligned}∂nettl−1​∂nettl​​​=∂atl−1​∂netl​∂nettl−1​∂atl−1​​=Udiag[f′l−1(nettl−1​)]​

进一步地,

​\begin{aligned}(\delta_t{l-1})T &=\frac{\partial E}{\partial net_t^{l-1}} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t^l}\frac{\partial net_t^l}{\partial net_t^{l-1}} \ &=(\delta_tl)TUdiag[f’{l-1}(net_t{l-1})] \end{aligned}(δtl−1​)T​=∂nettl−1​∂E​=∂nettl​∂E​∂nettl−1​∂nettl​​=(δtl​)TUdiag[f′l−1(nettl−1​)]​

该式即为将误差传递到上一层的算法。

权重梯度的计算

现在,终于来到了BPTTBPTT算法的最后一步:计算每个权重的梯度。

首先,我们计算误差函数EE对权重矩阵WW的梯度\frac{\partial E}{\partial W}∂W∂E​。

上图展示了我们到目前为止,在前面两步计算得到的量,包括每个时刻tt的循环输出值S_tSt​,以及误差项\delta_tδt​。

回忆一下全连接网络的权重梯度计算算法:只要知道了任意一个时刻的误差项\delta_tδt​,以及上一个时刻循环层的输出值S_{t-1}St−1​,就可以按照下面的公式求出权重矩阵在tt时刻的梯度\nabla_{W_t}E∇Wt​​E:

​\begin{aligned}\nabla_{W_t}E &=\left[ \begin{matrix} \delta_1ts_1{t-1} & \delta_1ts_2{t-1} & \cdots & \delta_1ts_n{t-1} \ \delta_2ts_1{t-1} & \delta_2ts_2{t-1} & \cdots & \delta_2ts_n{t-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_nts_1{t-1} & \delta_nts_2{t-1} & \cdots & \delta_nts_n{t-1} \end{matrix} \right] \end{aligned} \tag{4}∇Wt​​E​=⎣⎢⎢⎢⎡​δ1t​s1t−1​δ2t​s1t−1​⋮δnt​s1t−1​​δ1t​s2t−1​δ2t​s2t−1​⋮δnt​s2t−1​​⋯⋯⋱⋯​δ1t​snt−1​δ2t​snt−1​⋮δnt​snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​​(4)

式中,\delta_itδit​表示tt时刻误差项向量的第ii个分量;s_i{t-1}sit−1​表示t-1t−1时刻循环层第ii个神经元的输出值。

式4推导

由前文知net_t=UX_t+WS_{t-1}nett​=UXt​+WSt−1​,即

​\begin{aligned}\left[ \begin{matrix} net_1^t \ net_2^t \ \vdots \ net_n^t \end{matrix} \right] &=UX_t+\left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n}\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nm} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ s_2^{t-1} \ \vdots \ s_n^{t-1} \end{matrix} \right] \ &=UX_t+\left[ \begin{matrix} w_{11}s_1^{t-1} & w_{12}s_2^{t-1} & \cdots & w_{1n}s_n^{t-1}\ w_{21}s_1^{t-1} & w_{22}s_2^{t-1} & \cdots & w_{2n}s_n^{t-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1}s_1^{t-1} & w_{n2}s_2^{t-1} & \cdots & w_{nm}s_n^{t-1} \end{matrix} \right] \end{aligned}⎣⎢⎢⎢⎡​net1t​net2t​⋮netnt​​⎦⎥⎥⎥⎤​​=UXt​+⎣⎢⎢⎢⎡​w11​w21​⋮wn1​​w12​w22​⋮wn2​​⋯⋯⋱⋯​w1n​w2n​⋮wnm​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​s2t−1​⋮snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​=UXt​+⎣⎢⎢⎢⎡​w11​s1t−1​w21​s1t−1​⋮wn1​s1t−1​​w12​s2t−1​w22​s2t−1​⋮wn2​s2t−1​​⋯⋯⋱⋯​w1n​snt−1​w2n​snt−1​⋮wnm​snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​​

因为对WW求导与UX_tUXt​无关,我们不再考虑。现在,我们考虑对权重w_{ji}wji​求导。通过观察上式我们可以看到w_{ji}wji​只与net_j^tnetjt​有关,所以:

​\begin{aligned}\frac{\partial E}{\partial w_{ji}} &=\frac{\partial E}{\partial net_j^t}\frac{\partial net_j^t}{\partial w_{ji}} \ &=\delta_jts_i{t-1} \end{aligned}∂wji​∂E​​=∂netjt​∂E​∂wji​∂netjt​​=δjt​sit−1​​

按照上面的规律就可以生成式4里面的矩阵。

我们已经求得了权重矩阵WW在tt 的梯度\nabla_{W_t}E∇Wt​​E,最终的梯度\nabla_WE∇W​E是各个时刻的梯度之和:

​\begin{aligned}\nabla_WE &= \Sigma_{i=1}^t\nabla_{W_t}E \ &=\left[ \begin{matrix} \delta_11s_10 & \delta_11s_20 & \cdots & \delta_11s_n0 \ \delta_21s_10 & \delta_21s_20 & \cdots & \delta_21s_n0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_n1s_10 & \delta_n1s_20 & \cdots & \delta_n1s_n0 \end{matrix} \right]+\cdots+\left[ \begin{matrix} \delta_1ts_1{t-1} & \delta_1ts_2{t-1} & \cdots & \delta_1ts_n{t-1} \ \delta_2ts_1{t-1} & \delta_2ts_2{t-1} & \cdots & \delta_2ts_n{t-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_nts_1{t-1} & \delta_nts_2{t-1} & \cdots & \delta_nts_n{t-1} \end{matrix} \right] \end{aligned}\tag5{}∇W​E​=Σi=1t​∇Wt​​E=⎣⎢⎢⎢⎡​δ11​s10​δ21​s10​⋮δn1​s10​​δ11​s20​δ21​s20​⋮δn1​s20​​⋯⋯⋱⋯​δ11​sn0​δ21​sn0​⋮δn1​sn0​​⎦⎥⎥⎥⎤​+⋯+⎣⎢⎢⎢⎡​δ1t​s1t−1​δ2t​s1t−1​⋮δnt​s1t−1​​δ1t​s2t−1​δ2t​s2t−1​⋮δnt​s2t−1​​⋯⋯⋱⋯​δ1t​snt−1​δ2t​snt−1​⋮δnt​snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​​(5)

式5就是计算循环层权重矩阵WW梯度的公式。

前面已经介绍了\nabla_WE∇W​E的计算方法,看上去还是比较直观的。然而,读者也许会困惑,为什么最终的梯度是各个时刻的梯度之和呢?我们前面只是直接用了这个结论,实际上这里面是有道理的,只是这个数学推导比较绕脑子。感兴趣的同学可以仔细阅读接下来这一段,它用到了矩阵对矩阵求导、张量与向量相乘运算的一些法则。

式5推导

我们还是从这个式子开始:

​ net_t=UX_t+Wf(net_{t-1})nett​=UXt​+Wf(nett−1​)

因为UX_tUXt​与WW完全无关,我们把它看作常量。现在,考虑第一个式子加号右边的部分,因为WW和f(net_{t-1})f(nett−1​)都是WW的函数,因此我们要用到大学里学过的复合函数求导方法:

​ (uv)’=u’v+uv’(uv)′=u′v+uv′

因此,上面的式子写成:

​ \frac{\partial net_t}{\partial W}=\frac{\partial W}{\partial W}f(net_{t-1})+W\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial W}∂W∂nett​​=∂W∂W​f(nett−1​)+W∂W∂f(nett−1​)​

我们最终需要计算的是\nabla_WE∇W​E:

​\begin{aligned}\nabla_WE &=\frac{\partial E}{\partial W} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial W} \ &=\delta_t^T\frac{\partial W}{\partial W}f(net_{t-1})+\delta_t^TW\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial W} \end{aligned} \tag{6}∇W​E​=∂W∂E​=∂nett​∂E​∂W∂nett​​=δtT​∂W∂W​f(nett−1​)+δtT​W∂W∂f(nett−1​)​​(6)

先计算式6加号左边部分。\frac{\partial W}{\partial W}∂W∂W​是矩阵对矩阵求导,其结果是一个四维张量(tensor):

​\begin{aligned}\frac{\partial W}{\partial W} &=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial w_{11}}{\partial W} & \frac{\partial w_{12}}{\partial W} & \cdots & \frac{\partial w_{1n}}{\partial W} \ \frac{\partial w_{21}}{\partial W} & \frac{\partial w_{22}}{\partial W} & \cdots & \frac{\partial w_{2n}}{\partial W} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial w_{n1}}{\partial W} & \frac{\partial w_{n2}}{\partial W} & \cdots & \frac{\partial w_{nn}}{\partial W} \end{matrix} \right] \ &=\left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{11}} & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{12}} & \cdots & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{1n}} \ \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{21}} & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{22}} & \cdots & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{2n}} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{n1}} & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{n2}} & \cdots & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{nn}} \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{11}} & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{12}} & \cdots & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{1n}} \ \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{21}} & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{22}} & \cdots & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{2n}} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{n1}} & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{n2}} & \cdots & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{nn}} \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \ &=\left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \end{aligned}∂W∂W​​=⎣⎢⎢⎢⎡​∂W∂w11​​∂W∂w21​​⋮∂W∂wn1​​​∂W∂w12​​∂W∂w22​​⋮∂W∂wn2​​​⋯⋯⋱⋯​∂W∂w1n​​∂W∂w2n​​⋮∂W∂wnn​​​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​∂w11​∂w11​​∂w21​∂w11​​⋮∂wn1​∂w11​​​∂w12​∂w11​​∂w22​∂w11​​⋮∂wn2​∂w11​​​⋯⋯⋱⋯​∂w1n​∂w11​​∂w2n​∂w11​​⋮∂wnn​∂w11​​​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​∂w11​∂w12​​∂w21​∂w12​​⋮∂wn1​∂w12​​​∂w12​∂w12​​∂w22​∂w12​​⋮∂wn2​∂w12​​​⋯⋯⋱⋯​∂w1n​∂w12​​∂w2n​∂w12​​⋮∂wnn​∂w12​​​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​10⋮0​00⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​00⋮0​10⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​​

接下来,我们知道S_{t-1}=f(net_{t-1})St−1​=f(nett−1​),它是一个列向量。让上面的四维张量与这个向量相乘,得到一个三维张量,再左乘行向量\delta_t^TδtT​,最终得到一个矩阵:

​\begin{aligned}\delta_t^T\frac{\partial W}{\partial W}f(net_{t-1}) &=\delta_t^T\frac{\partial E}{\partial W}S_{t-1} \ &=\delta_t^T \left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ s_2^{t-1} \ \vdots \ s_n^{t-1} \end{matrix} \right] \ &=\delta_t^T \left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} s_2^{t-1} \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \ &= \left[ \begin{matrix}\delta_1^t & \delta_2^t & \cdots & \delta_n^t \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} s_2^{t-1} \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \ &=\left[ \begin{matrix} \delta_1ts_1{t-1} & \delta_1ts_2{t-1} & \cdots & \delta_1ts_n{t-1} \ \delta_2ts_1{t-1} & \delta_2ts_2{t-1} & \cdots & \delta_2ts_n{t-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_nts_1{t-1} & \delta_nts_2{t-1} & \cdots & \delta_nts_n{t-1} \end{matrix} \right] \ &=\nabla_{W_t}E \end{aligned}δtT​∂W∂W​f(nett−1​)​=δtT​∂W∂E​St−1​=δtT​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​10⋮0​00⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​00⋮0​10⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​s2t−1​⋮snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​=δtT​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​0⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​s2t−1​0⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=[δ1t​​δ2t​​⋯​δnt​​]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​⎣⎢⎢⎢⎡​s1t−1​0⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋮​⎣⎢⎢⎢⎡​s2t−1​0⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​⋯⋮​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​δ1t​s1t−1​δ2t​s1t−1​⋮δnt​s1t−1​​δ1t​s2t−1​δ2t​s2t−1​⋮δnt​s2t−1​​⋯⋯⋱⋯​δ1t​snt−1​δ2t​snt−1​⋮δnt​snt−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​=∇Wt​​E​

先计算式6加号右边部分

\begin{aligned}\delta_t^TW\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial W} &=\delta_t^TW\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial net_{t-1}}\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \ &=\delta_t^T Wf’(net_{t-1})\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \ &=\delta_t^T\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}}\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \ &=\delta_{t-1}^T\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \end{aligned}δtT​W∂W∂f(nett−1​)​​=δtT​W∂nett−1​∂f(nett−1​)​∂W∂nett−1​​=δtT​Wf′(nett−1​)∂W∂nett−1​​=δtT​∂nett−1​∂nett​​∂W∂nett−1​​=δt−1T​∂W∂nett−1​​​

于是,我们得到了如下递推公式:

​\begin{aligned}\nabla_WE &=\frac{\partial E}{\partial W} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial W} \ &=\nabla_{W_t}E+\delta_{t-1}^T\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \ &=\nabla_{W_t}E+\nabla_{W_{t-1}}E+\delta_{t-2}^T\frac{\partial net_{t-2}}{\partial W} \ &=\nabla_{W_t}E+\nabla_{W_{t-1}}E+\cdots+\nabla_{W_1}E \ &=\Sigma_{k=1}^t \nabla_{W_k}E \end{aligned}∇W​E​=∂W∂E​=∂nett​∂E​∂W∂nett​​=∇Wt​​E+δt−1T​∂W∂nett−1​​=∇Wt​​E+∇Wt−1​​E+δt−2T​∂W∂nett−2​​=∇Wt​​E+∇Wt−1​​E+⋯+∇W1​​E=Σk=1t​∇Wk​​E​

以上过程证明了:最终的梯度\nabla_WE∇W​E是各个时刻的梯度之和。

同权重矩阵WW类似,我们可以得到权重矩阵UU的计算方法:

​\begin{aligned}\nabla_{U_t}E &=\left[ \begin{matrix} \delta_1tx_1t & \delta_1tx_2t & \cdots & \delta_1tx_mt \ \delta_2tx_1t & \delta_2tx_2t & \cdots & \delta_2tx_mt \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_ntx_1t & \delta_nts_2t & \cdots & \delta_ntx_mt \end{matrix} \right] \end{aligned}∇Ut​​E​=⎣⎢⎢⎢⎡​δ1t​x1t​δ2t​x1t​⋮δnt​x1t​​δ1t​x2t​δ2t​x2t​⋮δnt​s2t​​⋯⋯⋱⋯​δ1t​xmt​δ2t​xmt​⋮δnt​xmt​​⎦⎥⎥⎥⎤​​

上式是误差函数EE在tt时刻对权重矩阵UU的梯度。和权重矩阵WW一样,最终的梯度也是各个时刻的梯度之和:

​ \nabla_UE=\Sigma_{i=1}^t\nabla_{U_i}E∇U​E=Σi=1t​∇Ui​​E

具体证明不再赘述,感兴趣的同学可以练习推导。

不幸的是,实践中前面介绍的几种RNNsRNNs并不能很好的处理较长的序列。纳尼?!这不是和前面说的矛盾吗,前面不是说能任意长么,大家可以回头看一眼,前面说的是[理论上]可以任意上,现实和理想还是有一定距离的。一个主要的原因是,RNNRNN在训练中很容易发生梯度爆炸梯度消失,这导致训练时梯度不能在较长序列中一直传递下去,从而使RNNRNN无法捕捉到长距离的影响。

为什么RNNRNN会产生梯度爆炸和消失呢?我们接下来将详细分析一下原因。我们根据式3可得:

​ \delta_kT=\delta_tT\prod_{i=k}^{t-1}Wdiag[f’(net_i)]δkT​=δtT​∏i=kt−1​Wdiag[f′(neti​)]

​\begin{aligned} \parallel \delta_k^T \parallel &\leq \parallel \delta_t^T \parallel \prod_{i=k}^{t-1}\parallel W \parallel \parallel diag[f’(net_i)] \parallel \ &\leq \parallel \delta_t^T \parallel(\beta_W\beta_f)^{t-k} \end{aligned}∥δkT​∥​≤∥δtT​∥i=k∏t−1​∥W∥∥diag[f′(neti​)]∥≤∥δtT​∥(βW​βf​)t−k​

上式的\betaβ定义为矩阵的摸的上界。因为上式是一个指数函数,如果t-kt−k很大的话(也就是向前看很远的时候),会导致对应的误差项的值增长或缩小得非常快,这样就会导致相应的梯度爆炸和梯度消失问题(取决于\betaβ大于1还是小于1)。

通常来说,梯度爆炸更容易处理一些。因为梯度爆炸的时候,运行代码会收到NaNNaN错误。我们也可以设置一个梯度阈值,当梯度超过这个阈值的时候可以直接截取。

梯度消失更难检测,而且也更难处理一些。总的来说,我们有三种方法应对梯度消失问题:

1.合理的初始化权重值。初始化权重,使每个神经元尽可能不要取极大或极小值,以避开梯度消失的区域;

2.使用relurelu代替sigmoidsigmoid和tanhtanh作为激活函数。原理之前的文章里已有所提及;

3.使用其他结构的RNNsRNNs,比如长短时记忆网络(LSTM)和Gated Recurrent Unit(GRU),这是最流行的网络结构。我们将在后续内容介绍这两种网络。

现在,引入一个例子,开篇提过的语言模型,不过现在是基于RNNRNN的语言模型。我们首先把词依次输入到循环神经网络中,每输入一个词,循环神经网络就输出截止目前为止,下一个最有可能的词。如,当我们依次输入:

我 昨天 上学 迟到 了

神经网络的输出如下图所示:

图中,ss和ee是两个特殊的词,分别表示一个序列的开始和结束。

神经网络的输入和输出都是向量,为了让语言模型能够被神经网络处理,我们必须把词表达为向量的形式,这样神经网络才能处理它。

神经网络的输入是词,我们可以用以下步骤对输入进行向量化:

1.建立一个包含所有词的词典,每个词在词典里面有一个唯一的编号;

2.任意一个词都可以用一个NN维的one-hotone−hot向量来表示。其中,NN是词典中包含的词的个数。假设一个词在词典中的编号是ii,vv是这个词的向量,v_jvj​是向量的第jj元素,则:

​v_j= \begin{cases} 1 && j=i\ 0 && j\neq i\ \end{cases}vj​={10​​j=ij​=i​

上面这个公式的含义,可以用下面的图来直观的表示:

使用这种向量化方法,我们就得到了一个高维、稀疏的向量(稀疏是指绝大部分元素的值都是0)。处理这样的向量会导致我们的神经网络有很多的参数,带来庞大的计算量。因此,往往会需要使用一些降维方法,将高维的稀疏向量转变为低维的稠密向量。

不过这个话题我们就不再这篇文章中讨论了。

语言模型要求的输出是下一个最可能的词,我们可以让循环神经网络计算计算词典中每个词是下一个词的概率,这样,概率最大的词就是下一个最可能的词。因此,神经网络的输出向量也是一个NN维向量,向量中的每个元素对应着词典中相应的词是下一个词的概率。如下图所示:

前面提到,语言模型是对下一个词出现的概率进行建模。那么,怎样让神经网络输出概率呢?方法就是用softmaxsoftmax层作为神经网络的输出层。

我们先来看一下softmaxsoftmax函数的定义:

​ g(z_i)=\frac{e{z_i}}{\Sigma_ke{z_k}}g(zi​)=Σk​ezk​ezi​​

这个公式看起来可能很晕,举例说明一下,SoftmaxSoftmax层如下图所示:

从上图我们可以看到,SoftmaxSoftmax layerlayer的输入是一个向量,输出也是一个向量,两个向量的维度是一样的(在这个例子里面是4)。输入向量x=[1 2 3 4]经过softmaxsoftmax层之后,经过上面的softmaxsoftmax函数计算,转变为输出向量y=[0.03 0.09 0.24 0.64]。计算过程为:

​ y_1=\frac{e{x_1}}{\Sigma_ke{x_k}}=\frac{e1}{e1+e2+e3+e^4}=0.03y1​=Σk​exk​ex1​​=e1+e2+e3+e4e1​=0.03

​ y_2=\frac{e2}{e1+e2+e3+e^4}=0.09y2​=e1+e2+e3+e4e2​=0.09

​ y_3=\frac{e3}{e1+e2+e3+e^4}=0.24y3​=e1+e2+e3+e4e3​=0.24

​ y_4=\frac{e4}{e1+e2+e3+e^4}=0.64y4​=e1+e2+e3+e4e4​=0.64

总结一下输出向量yy的特征:

1.每一项为取值为0-1之间的正数;

2.所有项的总和为1。

不难发现,这些特征和概率的特征是一样的,因此我们可以把它们看做是概率。对于语言模型来说,我们可以认为模型预测下一个词是词典中第一个词的概率是0.03,是词典中第二个词的概率是0.09,以此类推。

可以使用监督学习的方法对语言模型进行训练,首先,需要准备训练数据集。接下来,我们介绍怎样把语料转换成语言模型的训练数据集。

我 昨天 上学 迟到 了

首先,我们获取输入-标签对:

输入标签

s我

我昨天

昨天上学

上学迟到

迟到了

了e

然后,使用前面介绍过的向量化方法,对输入x和标签y进行向量化。这里面有意思的是,对标签y进行向量化,其结果也是一个one-hot向量。例如,我们对标签『我』进行向量化,得到的向量中,只有第2019个元素的值是1,其他位置的元素的值都是0。它的含义就是下一个词是『我』的概率是1,是其它词的概率都是0。

最后,我们使用交叉熵误差函数作为优化目标,对模型进行优化。

注:在实际工程中,我们可以使用大量的语料来对模型进行训练,获取训练数据和训练的方法都是相同的。

一般来说,当神经网络的输出层是SoftmaxSoftmax层时,对应的误差函数E通常选择交叉熵误差函数,其定义如下:

​ L(y,o)=-\frac{1}{N}\Sigma_{n\in N}y_nlogo_nL(y,o)=−N1​Σn∈N​yn​logon​

在上式中,NN是训练样本的个数,向量y_nyn​是样本的标记,向量o_non​是网络的输出。标记y_nyn​是一个one-hot向量,例如y_1=[1,0,0,0]y1​=[1,0,0,0],如果网络的输出o=[0.03,0.09,0.24,0.64]o=[0.03,0.09,0.24,0.64],那么,交叉熵误差是(假设只有一个训练样本,即N=1):

​\begin{aligned}L(y,o) &=-\frac{1}{N}\Sigma_{n\in N}y_nlogo_n \ &= -y_1logo_1 \ &= -(1log0.03+0log0.09+0log0.24+0log0.64) \ &= 3.51 \end{aligned}L(y,o)​=−N1​Σn∈N​yn​logon​=−y1​logo1​=−(1∗log0.03+0∗log0.09+0∗log0.24+0∗log0.64)=3.51​

我们当然可以选择其他函数作为我们的误差函数,比如最小平方误差函数(MSE)。不过对概率进行建模时,选择交叉熵误差函数更make sense。具体原因,感兴趣的读者请阅读参考文献5。

上述文章中,我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。同时也介绍了循环神经网络很难训练的原因,这导致了它在实际应用中,很难处理长距离的依赖。在本部分,我们将介绍一种改进之后的循环神经网络:长短时记忆网络(LSTMLSTM),它成功的解决了原始循环神经网络的缺陷,成为当前最流行的RNNRNN,在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。但不幸的一面是,LSTMLSTM的结构很复杂,因此,我们需要花上一些力气,才能把LSTMLSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚LSTMLSTM之后,我们再介绍一种LSTMLSTM的变体:GRUGRU。 它的结构比LSTMLSTM简单,而效果却和LSTMLSTM一样好,因此,它正在逐渐流行起来。

前述文中介绍了很多RNNRNN的内容,涉及很多公式计算,该部分以图片形式简要回顾一下,普通RNNRNN的主要形式如下图所示:

图中,

xx为当前状态下数据的输入,hh表示接收到的上一个节点的输入。

yy为当前节点状态下的输出,而h’h′为传递到下一个节点的输出。

通过上图的公式可以看到,输出h’h′与xx和hh的值都相关。

而yy则常常使用h’h′投入到一个线性层(主要是进行维度映射)然后使用softmaxsoftmax进行分类得到需要的数据。

对这里的yy如何通过h’h′计算得到往往看具体模型的使用方式。

通过序列形式的输入,我们能够得到如下形式的RNNRNN:

长短期记忆(LSTMLSTM)是一种特殊的RNNRNN,主要是为了解决长序列训练过程中的梯度消失和梯度爆炸问题。简单来说,就是相比普通的RNNRNN,LSTMLSTM能够在更长的序列中有更好的表现。

LSTMLSTM结构(图右)和普通RNNRNN的主要输入输出区别如下所示。

相比RNNRNN只有一个传递状态h^tht ,LSTMLSTM有两个传输状态,一个c^tct (cell state),和一个 h^tht(hidden state)。(Tips:RNNTips:RNN中的htht对于LSTMLSTM中的ctct)

其中对于传递下去的ctct改变得很慢,通常输出的ctct是上一个状态传过来的c^{t-1}ct−1加上一些数值。

而h^tht则在不同节点下往往会有很大的区别。

下面具体对LSTMLSTM的内部结构来进行剖析。

首先使用LSTMLSTM的当前输入xtxt和上一个状态传递下来的h{t-1}ht−1拼接训练得到四个状态。

其中,zfzf,zizi,z^ozo是由拼接向量乘以权重矩阵之后,再通过一个sigmoidsigmoid激活函数转换成0到1之间的数值,来作为一种门控状态。而zz则是将结果通过一个tanhtanh激活函数将转换成-1到1之间的值(这里使用tanhtanh是因为这里是将其做为输入数据,而不是门控信号)。

下面开始进一步介绍这四个状态在LSTMLSTM内部的使用:

注:\odot⊙是Hadamard Product,也就是操作矩阵中对应的元素相乘,因此要求两个相乘矩阵是同型的。\oplus⊕则代表进行矩阵加法。

LSTMLSTM内部主要有三个阶段:

忘记阶段。这个阶段主要是对上一个节点传进来的输入进行选择性忘记。简单来说就是会 “忘记不重要的,记住重要的”。具体来说是通过计算得到的zfzf(ff表示forgetforget)来作为忘记门控,来控制上一个状态的c{t-1}ct−1哪些需要留哪些需要忘。

选择记忆阶段。这个阶段将这个阶段的输入有选择性地进行“记忆”。主要是会对输入 xtxt进行选择记忆。哪些重要则着重记录下来,哪些不重要,则少记一些。当前的输入内容由前面计算得到的表zz示。而选择的门控信号则是由zizi(ii代表informationinformation)来进行控制。

将上面两步得到的结果相加,即可得到传输给下一个状态的c^tct。也就是上图中的第一个公式。

输出阶段。这个阶段将决定哪些将会被当成当前状态的输出。主要是通过zozo来进行控制的。并且还对上一阶段得到进的coco(通过一个tanhtanh激活函数进行变化)。

与普通RNNRNN类似,输出ytyt往往最终也是通过htht变化得到。

以上,就是LSTMLSTM的内部结构。通过门控状态来控制传输状态,记住需要长时间记忆的,忘记不重要的信息;而不像普通的RNNRNN那样只能够“呆萌”地仅有一种记忆叠加方式。对很多需要“长期记忆”的任务来说,尤其好用。

但也因为引入了很多内容,导致参数变多,也使得训练难度加大了很多。因此很多时候我们往往会使用效果和LSTMLSTM相当但参数更少的GRUGRU来构建大训练量的模型。

GRUGRU(Gate Recurrent UnitGateRecurrentUnit)是RNNRNN的一种。和LSTMLSTM一样,也是为了解决长期记忆和反向传播中的梯度等问题而提出来的。

GRUGRU和LSTMLSTM在很多情况下实际表现上相差无几,那么为什么我们要使用新人GRUGRU(2014年提出)而不是相对经受了更多考验的LSTMLSTM(1997提出)呢?

引用论文中的一段话来说明GRUGRU的优势所在:

我们在我们的实验中选择GRUGRU是因为它的实验效果与LSTMLSTM相似,但是更易于计算。

简单来说就是贫穷限制了我们的计算能力…

相比LSTMLSTM,使用GRUGRU能够达到相当的效果,并且相比之下更容易进行训练,能够很大程度上提高训练效率,因此很多时候会更倾向于使用GRUGRU。

OK,那么为什么说GRUGRU更容易进行训练呢,下面开始介绍一下GRUGRU的内部结构。

GRUGRU的输入输出结构与普通的RNNRNN是一样的,如下图所示:

有一个当前的输入xtxt,和上一个节点传递下来的隐状态h{t-1}ht−1(hidden state)),这个隐状态包含了之前节点的相关信息。

结合xtxt和h{t-1}ht−1,GRUGRU会得到当前隐藏节点的输出ytyt和传递给下一个节点的隐状态htht。

那么,GRUGRU到底有什么特别之处呢?下面来对它的内部结构进行分析!

GRUGRU的内部结构如下图所示:

注:\odot⊙是Hadamard Product,也就是操作矩阵中对应的元素相乘,因此要求两个相乘矩阵是同型的。\oplus⊕则代表进行矩阵加法。

首先,我们先通过上一个传输下来的状态h{t-1}ht−1和当前节点的输入xtxt来获取两个门控状态。如下图,其中rr控制重置的门控(reset gate),zz为控制更新的门控(update gate)。

Tips:\deltaδ为sigmoidsigmoid函数,通过这个函数可以将数据变换为0-1范围内的数值,从而来充当门控信号。

与LSTMLSTM分明的层次结构不同,下面将对GRUGRU进行一气呵成的介绍~~~ 请大家屏住呼吸,不要眨眼。

得到门控信号之后,首先使用重置门控来得到**“重置”之后的数据h’{t-1}=h{t-1}\odot rh′t−1=ht−1⊙r ,再将 h’{t-1}h′t−1与输入xtxt进行拼接,再通过一个tanhtanh激活函数来将数据放缩到-1~1**的范围内。即得到如下图所示的h’h′。

这里的h’h′主要是包含了当前输入的x^txt数据。有针对性地对h’h′添加到当前的隐藏状态,相当于“记忆了当前时刻的状态”,类似于LSTM的选择记忆阶段 。

最后介绍GRUGRU最关键的一个步骤,我们可以称之为**”更新记忆“**阶段。

在这个阶段,我们同时进行了遗忘了记忆两个步骤。我们使用了先前得到的更新门控zz(update gate)。

更新表达式:h^t=z\odot h^{t-1}+(1-z)\odot h’ht=z⊙ht−1+(1−z)⊙h′

首先再次强调一下,门控信号(这里的zz)的范围为0~1。门控信号越接近1,代表“记忆”下来的数据越多;而越接近0则代表“遗忘”的越多。

GRUGRU很聪明的一点就在于,我们使用了同一个门控zz就同时可以进行遗忘和选择记忆(LSTMLSTM则要使用多个门控)

z\odot h^{t-1}z⊙ht−1 :表示对原本隐藏状态的选择性“遗忘”。这里的zz可以想象成遗忘门(forget gate),忘记h^{t-1}ht−1维度中一些不重要的信息。

(1-z)\odot h’(1−z)⊙h′ : 表示对包含当前节点信息的进h’h′行选择性“记忆”。与上面类似,这里的(1-z)(1−z)同理会忘记h’h′维度中的一些不重要的信息。或者,这里我们更应当看做是对h’h′维度中的某些信息进行选择。

h^t=z\odot h^{t-1}+(1-z)\odot h’ht=z⊙ht−1+(1−z)⊙h′ :结合上述,这一步的操作就是忘记传递下来的h^{t-1}ht−1中的某些维度信息,并加入当前节点输入的某些维度信息。

可以看到,这里的遗忘zz和选择是(1-z)(1−z)联动的。也就是说,对于传递进来的维度信息,我们会进行选择性遗忘,即遗忘了多少权重(z)(z),我们就会使用包含当前输入的 h’h′中所对应的权重进行弥补(1-z)(1−z)。以保持一种”恒定“状态。

GRUGRU是在2014年提出来的,而LSTMLSTM是1997年。它们的提出都是为了解决相似的问题,那么GRUGRU难免会参考LSTMLSTM的内部结构。那么他们之间的关系大概是怎么样的呢?这里简单介绍一下。

大家看到rr(reset gate)实际上与它的名字有点不符。我们仅仅使用它来获得了h’h′。

那么这里的h’h′实际上可以看成对应于LSTMLSTM中的hidden state;上一个节点传下来的则h^{t-1}ht−1对应于LSTMLSTM中的cell state。zz对应的则是LSTMLSTM中的z^fzf forget gate,那么我(1-z)(1−z)们似乎就可以看成是选择门z^izi了。

GRUGRU输入输出的结构与普通的RNNRNN相似,其中的内部思想与LSTMLSTM相似。

与LSTMLSTM相比,GRUGRU内部少了一个”门控“,参数比LSTMLSTM少,但是却也能够达到与LSTMLSTM相当的功能。考虑到硬件的计算能力时间成本,因而很多时候我们也就会选择更加“实用”的GRUGRU。

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[1] 李宏毅,Deep Learning Tutorial,2018

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