数学入门笔记

(0)绝对值数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值记做|a|

(0.1)减去一个数等于加这个数的相反数a-b=a+(-b)

(0.2)两数相乘同号得正异号得负并把绝对值相乘。

(0.3)乘积为1的两个数互为倒数

(0.4)a(b+c)=ab+ac

(0.5)除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。

(0.6)

(1)有理数:正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式这样的数称为有理数

(2)无理数:即非有理数之实数不能写作两整数之比。若将它写成小数形式小数点之后的数字有无限多个并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e其中后两者均为超越数等。

(3)单项式数或者字母或者数字和字母的积像这样的式子叫做单项式单项式中的数字因数叫做单项式的系数一个单项数中所有字母的指数的和叫做单项数的次数。

(4)多项式几个单项式的和叫做多项式其中每个单项式叫做多项式的项不含字母的项叫做

常数项。多项式里次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。

(5)整式:单项式与多项式统称为整式

(6)同类项所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项

(7)平面直角坐标系平面内两条互相垂直原点重合的数轴

(8)对角线连接多边形不相邻的两个顶点

(9)n边形的内角和等于(n-2)*180

(10)n边形的外交和等于360

(11)消元:将未知数的个数的个数由多化少逐一解决的思想

(12)代人消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来再代人另一个方程实现消元进而求得这个二的组的解

(13)加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时把这两个方程的两边分别相加或相减就能消去这个未知数得到一个一元一次方程

(14)不等式两边乘或除以同一个负数不等号的方向改变.

(15)三角形中任意两边之差小于第三边

(16)抽样调查只抽取一部分对象进行调查然后根据调查数据推断全体对象的情况要考察的全体对象称为总体组成总体的每一个考察对象称为个体被抽取的那些个体组成一个样本。

(17)直方图中y轴是频数/组距而小长方形的面积是组距×频数/组距=频数频数指样本中落在对应组距中的数据个数

(18)角度内部到角度两边的距离相等的点在角的平分线上

(19)算数平方根如果一个正数x的平方等于a那么这个正数x叫做a的算数平方根.

(20)平方根如果一个数的平方等于a那么这个数叫做a的平方根或二次方根。注意平方根和算数平方根的区别平方根是不分正负的而算数平方根是正的

(21)立方根三次方根如果一个数的立方等于a那么这个数叫做a的立方根或三次方根

(22)一般在一个变化过程中如果有两个变量x与y并且对于x的每一个确定的值y都有唯一确定的值与其对应我们就说x是自变量y是x的函数。当x=ay=b那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

(23)单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加。

(24)多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项再把所得的积相加。

(25)添加括号时如果括号前面是正号括到括号里的各项都不变符号如果括号前面是负号扩到括号里的各项都改变符号。

(26)把一个多项式化成几个整式的积的形式像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解也叫做把这个多项式分解因式。

(27)x²+(p+q)x+pq=0     <==>    (x+p)(x+q)

(28)菱形的四条边相等菱形的两条对角线互相垂直

(29)对角线互相垂直的四边形是菱形。四边相等的四边形是菱形。

(30)一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫做梯形两腰相等的梯形叫等腰梯形。

(32)重心平行四边形的重心是它的两条对角线的交点三角形的重心是三条中线交于一点线段的重心是线段的中点。

(33)中位数将一组数据按照由小到大的顺序排列如果数据的个数是奇数则处于中间的位置的数称为这组数据的中位数如果数据的个数是偶数则中间的两个数据的平均数称为这组数据的中位数。

(34)众数一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数

(35)极差一组数据中的最大值和最小值的差叫做这组数据的极差。

(36)方差设有n个数据各数据和他们的平均数的差的平方的和的平均数称为方差方差越大数据的波动越大方差越小数据的波动越小。

(37)最简二次根式被开方数不含分母被开方数中不能开得尽方的因数或因式。

(38)圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴

(39)顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角

(40)在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对待圆心角的一般

(41)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上这个多边形叫做圆内接多边形这个圆叫做多边形的外接圆。

(43)圆内接四边形的对角互补

(44)经过三角形的三个顶点可以做一个圆这个圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点叫做这三角形的外心。

(31)与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点

(32)圆的周长πr(r是半径)面积πr²

(33)母线连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

(34)随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

(35)抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点

                                当a>0时开口向上当a<0时开口向下

                                对称轴是直线x-h

                                顶点坐标是(h,k)

(36)抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,(4ac-b²)/4a)

(37)如果x的n次方=a那么x叫做a的n次方根n>1且n为正整数

(38)式子a的n次方根叫根式n叫根指数a叫被开方数

(39)对数的意义摘自网络对数是一种计算方法它最大的优越性就在于应用对数乘法和除法可以归结为简单的加法和减法运算。虽然我们现在所用的对数表是由苏格兰著名的数学家纳皮尔发明的但它应该追溯到1484年的丘凯和斯蒂费尔。

  那时人们对数特别是一些大数的计算感到非常的不便。2484年丘凯和斯遇尔两人潜心研究想能不能找到一种比较简便的方法使大数计算起来更加方便呢最后他们注意到了下面两个数列的关系。

  n0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…

  2 n1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,……

  如果想求第二得任意两个数的积只要计算与这两个数对应的第一行的数之各就可从和数中找出对应的答数。若示主的是商只要把上述的“和”改为“差”就行了。后来斯蒂费尔把这种关系推广到负指数和分数指数一来。

  后来英格兰数学家纳皮尔致力于研究球面三角和除法运算。随着三角学的迅速发展各种三角函数表大量出现这是他发明对数的直接原因。因为当时还没有十进位小数的运算要对天文学、航海竺方面进行研究就必须制表而人们只有用愈来愈加大圆半径的办法来满足制表的要求。因此当务之急就是找到简单有效的编表计算方法。

  纳皮尔最初的目的是想简化一些角运算。当他见到丘凯和斯蒂费尔的研究成果时他茅塞顿开。他的思路是沿着公式

  sinA·sinB={cos(A-B)-cos(A+B)}/2

  而来的。他在对数的理论上面至少花费了20年。

  考虑线段AB和无穷射线DE令点C和F同时分别从A和D沿着这两条线以同样的初速度开始移动假定C总是以数值等于距离CB的速度移动而F以匀速移动于是纳皮尔定义DF为CB的对数。也就是说设DFX和CBY

  XNaplogy

  为了避免出现分数的麻烦纳皮尔取AB的长为10 7因为当时最好的正表有七位数字。在纳皮尔那里没有底的概念。他从连续的几何量出发得到了几何级数与算术级数的比较表。

  1614年纳皮尔发表了《奇妙的对数定理说明书》在这本书中发表了他关于对数的讲座。这书一发表就引起人们的广泛兴趣。后来他和布里格斯把对数做了改时使得1的对数为010的对数为10的适当次幂这样造出来的对数表更为有用。于是就有了我们今天的常用对数为了纪念布里格斯人们又把它称为布里格斯对数。这种对数实质上是以10为底数的这样在数值计算上具有优越的效用。

  1624年布里格斯发表了他的《对数算术》这是一本对数表它包括从1到20000和90000到100000的14位常用对数表后来在出版商的帮助下又把从20000到90000的其他数补了上来。1620年布里格斯的一位同事冈特发表了角的正弦和正切的常用对数表直到20世纪三四十年代才被英国算出的20位对数表所代替。

  logarithm(对数这个词产意思是“比数”。纳皮尔最初并没有用这个词而用的是artificialnumber(人造数后来才使用对数这一词。到了布里格斯手里又引进了mantissa这个词它的意思为“附加”或“补缺”到了16世纪对数这个术语由布里格斯提出来。

  纳皮尔对数及布里格斯的对数表的发明很快得到了人们的认可尤其是天文学界他们认为对数的发明延长了天文学者的寿命。伽利略甚至说给他空间、时间及对数他就可以创造一个宇宙。

  关于对数的发明我们还应该提起另一个人他就是瑞士仪器制造者比尔吉。比尔吉是天文学家开普勒的助手。他根据斯蒂费尔的发现整整用了8年时间造成了一张反对数表。于1620年发表比纳皮尔晚6年。

  纳皮尔和比尔吉两人都致力于对数的研究只不过纳皮尔用的是几何方法比尔吉用的是代数法。现在对数普遍被认为是指数。例如如果n=b x我们就可以说X是N的以B为底的对数。从这一定义出发对数定律直接来自指数定律。对数的建立早于指数的建立在数学史上成了一件珍闻。

  以上谈的都是以10为底的对数除此之外还有自然对数这个名字是1610年伦敦的数学家司皮得尔在《新数学》里出现的。

  我们知道一般对数的底可以为任意不等于1的正数。即对数的底如果为超越数e(e=2.718)我们就把这样的对数叫作自然对数用符号“LN”表示。在这里“1”是对数“logarithm"的第一个字母“N”是自然“nature"的第一个字母把两个字母合在一起就表示自然对数。

  自然对数的出现给数学界带来了一场革命。

(40)幂函数x的n次方成为幂函数。

(41)零点对于函数y=f(x),我们把是f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.     

(42)棱柱有两个面互相平行其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体叫做棱柱棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面简称底其余各面叫做棱柱的侧面相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧面与地面的公共顶点叫做棱柱的顶点地面时三角形四边形五边形....的棱柱分别叫做三棱柱四棱柱五棱柱.....   

(43)棱锥有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这些面所围成的几何体叫做棱锥这个多边形面叫做棱锥的底面或底有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 

(44)圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱旋转轴叫圆柱的轴垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

(45)圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

(46)圆柱的表面积S=2πr(r+l),体积V=Sh

    圆锥的表面积:S=πr(r+l)体积V=1/3*Sh   (S为底面面积h为高)

    球体的体积4/3πr³

    球体的表面积4πr²

(47)斜率k=tan a

(46)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1!=x2)的直线的斜率公式:k=(y2-y1)/(x1-x2);

(47)两直线平行斜率相等

(48)两直线垂直k1*k2=-1;

(49)点斜式方程y-y0=k(x-x0)

(50)斜截式方程y=kx+b;

(51)两点式方程(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1);

(52)直线的一般方程Ax=By+C=0;(当B=0时方程为y=-(A/B)x-(C/B);

(53)点到直线的距离d=|Ax0+By0+C|/√A²+B²

(54)圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²

(55)x²+y²+Dx+Ey+F=0;圆心-D/2,-E/2,半径1/2√D²+E²-4F

(56)标准差要调查样本的波动程度可以使用平均距离的算法解释S=(|x1-x|+|x2-x|+....|xn-x|)/n,由于上式含有绝对值运算不方便通常使用如下公式来计算标准差S=√1/n((x1-x)²+(x2-x)²+......(xn-x)²)

(57)回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致就在一条直线附近我们就称这两个变量之间具有线性相关关系这条直线叫做回归直线。如果能够求出这条回归直线的方程就叫回归方程。

(58)事件1确定事件必然事件+不可能事件

          2随机事件在条件S下可能发生也可能不发生的事件叫相对于条件S的随机事件简称随机事件。

(59)频率:在相同的条件S下重复n次试验观察某一事件A是否出现称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数称事件A出现的比例fn(A)=nA/n为事件A出现的频率。

(60)概率对于给定的随机事件A如果随着试验次数的增加事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上把这个常数记作PA称为事件A的概率简称为A的概率。

(61)事件B包含事件A对于事件A与事件B如果事件A发生则事件B一定发生

(62)并事件某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生则称此事件为事件A与事件B的并事件

(63)交事件某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生则称此事件为事件A与事件B 的交事件。

(63)互斥事件若A交B为不可能事件那么事件A与事件B互斥其含义是事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生

(64)互为对立事件若A交B为不可能事件A并B为必然事件则称事件A与事件B互为对立事件

(65)如果事件A和事件B互斥则PAUB=P(A)+P(B)

(66)对立事件P(A)=1-P(B)

(67)基本事件任何两个基本事件都是互斥的任何事件都可以表示基本事件的和。

(68)古典概率模型试验中所有可能出现的基本事件只能有有限个每个基本事件出现的可能性相等。

(69)古典概型的概率P(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数在现实生活中常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况这时就不能用古典概型计算事件发生的概率了

(70)几何概率模型每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例则称这样的概率模型为几何概率模型

(71)弧度把长度等于半径长的弧所对待圆心角叫做1弧度的角用符号rad表示读作弧度

(72)角a的弧度数的绝对值是|a|=l/r;(l为圆心角a所对弧的长为l)

(73)180度=π rad

(74)三角函数正弦余弦正切都是以角为自变量以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数我们将它们统称为三角函数由于角度集合与实数集之间可以建立一一对应的关系三角函数可以看成自变量为实数的函数。

(75)在单位圆内三角函数的计算将非常简单只需计算点的坐标可以表示任意三角函数

(76)有向线段带有方向的线段

(77)三角函数的诱导公式sin(π+a)=-sina,  cos(π+a)=-cosa,  tan(π+a)=tana,  sin(-a)=-sina,  cos(-a)=cosa,   tan(-a)=-tana,   

(78)sin(π/2+a)=cosa,  cos(π/2+a)=-sina.

(79)周期函数fx+T=fx

(80)函数y=Asin(wx+∮)(其中A>0,w>0)的图像可以看作用下面的方法得到先画出函数y=sinx的图像再把正弦曲线相左右平移|∮|个单位长度得到函数y=sin(x+∮)的图像然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1/w倍得到函数y=sin(wx+∮)的图像最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍这时曲线就是函数y=Asin(wx+∮)的图像.

(81)A就是这个简谐运动的振幅他是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离这个简谐运动的周期T=2π/w,简谐运动的频率f=1/T=w/2πwx+∮称为相位x=0时的相位∮称为初相。

(82)向量既有大小又有方向的量叫做向量

(83)大小方向都相等的向量叫做相等向量方向相同的向量叫做平行向量或者叫共线向量

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