174. 地下城游戏

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/dungeon-game

题目

一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。

说明:

• 骑士的健康点数没有上限。

• 任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

解题思路

思路：动态规划

先说需要注意的点：【题目中已经说明，勇士只能向右，向下移动】，【如果勇士的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡】。

在这道题中，我们要使用反向动态规划。如果选择使用正向的动态规划，会出现 dp 值更新困难的问题。

大致说明下这个情况，假设有以下二维网格：

现在假设，按照以下的走法来走向右下角的目标终点：

在这里，我们首先需要记录路线的【路径和】和【最小初始化值】：

• 先看上面红色的路线：从左上角 (0, 0) 到 (1, 2) 时，【路径和】为 2，【最小初始化值】为 4；
• 再看绿色的路线：从左上角 (0, 0) 到 (2, 1) 时，【路径和】为 1，【最小初始化值】为 3。

前面已经说过需要注意的点，勇士的血量值必须要时刻大于 0。那么，我们的路线规划，就必须要保证【路径和】要尽可能的大，而【最小初始化值】则尽可能的小。

在上面的示例当中，我们最终会选择红色的路线，因为当选择红色路线时，【最小初始化值】为 4 的情况下，是能够走到终点的。而如果选择绿色路线，要想走到终点，由于【路径和】较小，这个时候要增大【最小初始化值】至 5 才能安全到达。

但是，如果终点位置（也就是右下角坐标 (2, 2)） 的值 -5 变为大于或等于 0 的数值时，这个时候，情况就会发生变化。当终点值发生变化之后，红色路线【最小初始化值】还是 4，但是绿色路线【最小初始化值】将只需要 3。

根据上面的分析，我们可以发现，如果选择正向的动态规划时，无法满足动态规划的【无后效性】。那么我们这个时候考虑反向的动态规划。

状态定义

设 dp[i][j] 表示从 (i, j) 到达终点所需的最小初始化值。

状态转移

我们采用反向动态规划，那么在这里，dp[i][j] 只需要关心 dp[i][j+1] 和 dp[i+1][j] 的最小值，而当前点的值为 dungeon[i][j]。在这里，初始值还必须大于等于 1，那么此时状态转移方程为：

dp[i][j] = max(min(dp[i][j+1], dp[i+1][j] - dungeon[i][j]), 1)

我们最终需要求的是 dp[0][0]。

状态初始化

先考虑边界问题:

• i = m - 1 和 j = n - 1 时，dp[i][j+1] 和 dp[i+1][j] 会出现越界问题，将两者值设为 1。也就是：dp[m-1][n] = 1，dp[m][n-1] = 1

具体的代码实现如下。

代码实现

class Solution:
    def calculateMinimumHP(self, dungeon: List[List[int]]) -> int:
        m = len(dungeon)
        n = len(dungeon[0])

        dp = [[float('inf')] * (n+1) for _ in range(m+1)]

        # 初始化值
        dp[m-1][n] = 1
        dp[m][n-1] = 1

        for i in range(m - 1, -1, -1):
            for j in range(n - 1, -1, -1):
                dp[i][j] = max(min(dp[i][j+1], dp[i+1][j]) - dungeon[i][j], 1)
        
        return dp[0][0]

实现结果

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