数据结构算法题之二分查找算法

1 二分查找基础

相信大家都知道二分查找的基本算法，如下所示，这就是二分查找算法代码：

/**
 * 基本二分查找算法
 */
int binarySearch(int a[], int n, int t)
{
    int l = 0, u = n - 1;
    while (l <= u) {
        int m = l + (u - l) / 2; // 同（l+u）/ 2，这里是为了防溢出
        if (t > a[m])
            l = m + 1;
        else if (t < a[m])
            u = m - 1;
        else
            return m;
    }
    return -(l+1);
}

算法的思想就是：从数组中间开始，每次排除一半的数据，时间复杂度为O(lgN)。这依赖于数组有序这个性质。如果t存在数组中，则返回t在数组的位置；否则，不存在则返回-(l+1)。

这里需要解释下为什么t不存在数组中时不是返回-1而要返回-(l+1)。首先我们可以观察 l 的值，如果查找不成功，则 l 的值恰好是 t 应该在数组中插入的位置。

举个例子，假定有序数组a={1, 3, 4, 7, 8}， 那么如果t=0，则显然t不在数组中，则二分查找算法最终会使得l=0 > u=-1退出循环；如果t=9，则t也不在数组中，则最后l=5 > u=4退出循环。如果t=5，则最后l=3 > u=2退出循环。

因此在一些算法中，比如DHT（一致性哈希）中，就需要这个返回值来使得新加入的节点可以插入到合适的位置中，在求最长递增子序列的NlgN算法中，也用到了这一点，参见:

http://blog.csdn.net/ssjhust123/article/details/7798737

还有一个小点就是之所以返回-(l+1)而不是直接返回 -l 是因为 l 可能为0，如果直接返回 -l 就无法判断是正常返回位置0还是查找不成功返回的0。

2 查找有序数组中数字第一次出现位置

现在考虑一个稍微复杂点的问题，如果有序数组中有重复数字，比如数组a={1, 2, 3, 3, 5, 7, 8}，需要在其中找出3第一次出现的位置。这里3第一次出现位置为2。这个问题在《编程珠玑》第九章有很好的分析，这里就直接用了。

算法的精髓在于循环不变式的巧妙设计，代码如下：

/**
 * 二分查找第一次出现位置
 */
int binarySearchFirst(int a[], int n, int t)
{
    int l = -1, u = n;
    while (l + 1 != u) {
        /*循环不变式a[l]<t<=a[u] && l<u*/
        int m = l + (u - l) / 2; //同（l+u）/ 2
        if (t > a[m])
            l = m;
        else
            u = m;
    }
    /*assert: l+1=u && a[l]<t<=a[u]*/
    int p = u;
    if (p>=n || a[p]!=t)
        p = -1;
    return p;
}

算法分析：设定两个不存在的元素a[-1]和a[n]，使得a[-1] < t <= a[n]，但是我们并不会去访问这两个元素，因为(l+u)/2 > l=-1, (l+u)/2 < u=n。循环不变式为l<u && t>a[l] && t<=a[u] 。循环退出时必然有l+1=u, 而且a[l] < t <= a[u]。

循环退出后u的值为t可能出现的位置，其范围为[0, n]，如果t在数组中，则第一个出现的位置p=u，如果不在，则设置p=-1返回。该算法的效率虽然解决了更为复杂的问题，但是其效率比初始版本的二分查找还要高，因为它在每次循环中只需要比较一次，前一程序则通常需要比较两次。

举个例子：对于数组a={1, 2, 3, 3, 5, 7, 8}，我们如果查找t=3，则可以得到p=u=2，如果查找t=4，a[3]<t<=a[4]， p="-1。"" u="" style="font-size: inherit;color: inherit;line-height: inherit;">=n, 比如t=9，则u=7，此时也是设置p=-1.特别注意的是，l=-1，u=n这两个值不能写成l=0，u=n-1。虽然这两个值不会访问到，但是如果改成后面的那样，就会导致二分查找失败，那样就访问不到第一个数字。如在a={1，2，3，4，5}中查找1，如果初始设置l=0，u=n-1，则会导致查找失败。</t<=a[4]，>

扩展

如果要查找数字在数组中最后出现的位置呢？其实这跟上述算法是类似的，稍微改一下上面的算法就可以了，代码如下：

/**
 * 二分查找最后一次出现位置
 */
int binarySearchLast(int a[], int n, int t)
{
    int l = -1, u = n;
    while (l + 1 != u) {
        /*循环不变式, a[l] <= t < a[u]*/
        int m = l + (u - l) / 2;
        if (t >= a[m])
            l = m;
        else
            u = m;
    }
    /*assert: l+1 = u && a[l] <= t < a[u]*/
    int p = l;
    if (p<=-1 || a[p]!=t)
        p = -1;
    return p;
}

当然还有一种方法可以将查询数字第一次出现和最后一次出现的代码写在一个程序中，只需要对原始的二分查找稍微修改即可，代码如下：

/**
 * 二分查找第一次和最后一次出现位置
 */
int binarySearchFirstAndLast(int a[], int n, int t, int firstFlag)
{
    int l = 0;
    int u = n - 1;
    while(l <= u) {
        int m = l + (u - l) / 2;
        if(a[m] == t) { //找到了，判断是第一次出现还是最后一次出现
            if(firstFlag) { //查询第一次出现的位置
                if(m != 0 && a[m-1] != t)
                    return m;
                else if(m == 0)
                    return 0;
                else
                    u = m - 1;
            } else {   //查询最后一次出现的位置
                if(m != n-1 && a[m+1] != t)
                    return m;
                else if(m == n-1)
                    return n-1;
                else
                    l = m + 1;
            }
        }
        else if(a[m] < t)
            l = m + 1;
        else
            u = m - 1;
    }

    return -1;
}