【题解】矩阵快速幂

题目背景

矩阵快速幂

题目描述

给定 $n\times n$ 的矩阵 A，求 $A^k$。

输入格式

第一行两个整数 n,k 接下来 n 行，每行 n 个整数，第 i 行的第 j 的数表示 $A_{i,j}$。

输出格式

输出 $A^k$

共 n 行，每行 n 个数，第 i 行第 j 个数表示 $(A^k{)}_{i,j}$，每个元素对 $10^9+7$ 取模。

输入输出样例

输入 #1

2 1
1 1
1 1

输出 #1

1 1
1 1

说明/提示

【数据范围】
对于 100% 的数据：KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '，' at position 15: 1\le n \le 100，̲0 \le k \le 10^…

题目分析

先来了解一些矩阵相关的知识

矩阵

矩阵（matrix）。$n\times m$ 的矩阵指的是n行，m列的矩阵。

如

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$$

就是指的 $2\times 3$ 的矩阵。

单位矩阵

单位矩阵指的是 对角线上为1，其他位置为0的矩阵。

$$\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$

常用 I 来表示单位矩阵。

矩阵的幂次方

$A^0=I$

$A^n=A^{n-1}\times A(n>0)$

性质

1. 矩阵乘法满足分配率，结合律，不一定满足交换律
2. 加法满足交换律和结合律

矩阵满足结合律，所以在求矩阵的幂的时候，可以使用 矩阵快速幂加速。

矩阵快速幂

分治的思路解决矩阵快速幂

$$A^n=\{\begin{array}{rlr}& A^{\frac{n}{2}}\times A^{\frac{n}{2}}& ,\\ & A^{\frac{n}{2}}\times A^{\frac{n}{2}}\times A& ,\end{array}$$

node matrixPow(node a,ll k){//矩阵的幂次方
	if(k==0){// 0次方
		return I;//矩阵的0次方是单位矩阵
	}
	node t=matrixPow(a,k/2);//求 a^{n/2} 次方
	if(k&1){//判断k是否是奇数
		return matrixMins(matrixMins(t,t),a);
	}else{//k是偶数
		return matrixMins(t,t);
	}
}

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105;
const int M=1e9+7;
struct node{
	ll a[N][N]={0};
	int row,col;
};
node I;//单位矩阵

node matrixMins(node a,node b){//矩阵乘法
	node c;//答案矩阵
	c.row=a.row;
	c.col=b.col;
	int n=c.row,p=c.col,m=a.col;
	//计算矩阵乘法
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=p;j++){
			for(int k=1;k<=m;k++){
				c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%M;
				c.a[i][j]%=M;
			}
		}
	}
	return c;
}
node matrixPow(node a,ll k){//矩阵的幂次方
	if(k==0){// 0次方
		return I;//矩阵的0次方是单位矩阵
	}
	node t=matrixPow(a,k/2);//求 a^{n/2} 次方
	if(k&1){//判断k是否是奇数
		return matrixMins(matrixMins(t,t),a);
	}else{//k是偶数
		return matrixMins(t,t);
	}
}
int main(){
	int n;
	node a;
	ll k;
	cin>>n>>k;
	a.col=a.row=n;
	I.col=I.row=n;
	for(int i=1;i<=n;i++){//输入矩阵A
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>a.a[i][j];
			//处理单元矩阵
			if(i==j) I.a[i][j]=1;
			else	I.a[i][j]=0;
		}
	}
	node ans=matrixPow(a,k);//计算a^k
	//输出结果矩阵
	for(int i=1;i<=ans.row;i++){
		for(int j=1;j<=ans.col;j++){
			cout<<ans.a[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}