【九月打卡】第18天 二分搜索树

课程名称：算法与数据结构
课程章节：二分搜索树
课程讲师： Liuyubobobo

课程内容

二叉树 Binary Tree

为什么要有树结构

• 对于大量的输入数据，链表的线性访问时间 太慢，不宜使用
• 树结构本身是一种天然的组织结构
• 将数据使用树结构存储后，出奇的高效

二叉树的定义

• 和链表一样，动态数据结构
• 二叉树具有唯一根节点
• 二叉树每个节点最多有两个孩子，一个孩子都没有的节点通常称为叶子节点
• 二叉树每个节点最多只有一个父亲节点，整个二叉树中只有一个节点是没有父亲节点的，就是根节点

class Node {
E e;
Node left;//左孩子
Node right;//右孩子
}

二叉树具有天然递归结构

链表也具有天然的递归结构，但由于链表是线性的，所以对于链表相关的操作，使用循环的方式完全可以处理；但对于树来说，使用递归的写法要比非递归的写法要简单很多的

• 每个节点的左子树也是二叉树
• 每个节点的右子树也是二叉树

每一棵二叉树它的左侧和右侧又分别连接了两颗二叉树，这两颗二叉树都是节点个数更小的两颗二叉树。

• 二叉树不一定是满二叉树，满二叉树是指除了叶子节点之外，都有两个孩子
• 一个节点也可以二叉树，只有一个节点也可以是链表
• null 空也可以是二叉树，空节点也可以是链表

二分搜索树 Binary Search Tree

二分搜索树的定义

• 二分搜索树是二叉树
• 二分搜索树每个节点的值：
  • 大于其左子树的所有节点的值
  • 小于其右子树所有节点的值
• 存储的元素必须具有可比较性 （如果要加快搜索的话，就必须对数据有一定的要求）

二分搜索树添加新元素

本二分搜索树不包含重复元素，如果想包含重复元素的话，有两种实现方式

1. 定义左子树小于等于节点；或者右子树大于等于节点
2. 定义节点的count > 注意：数组和链表，可以有重复元素

二分搜索树查询元素

二分搜索树的遍历

• 遍历操作就是把所有的节点都访问一遍
• 访问的原因和业务相关
• 在线性结构性下，遍历是极其容易的

• 从根节点开始看，是不是查找的元素。如果小于根节点就在左子树中继续进行这个操作，如果大于根节点，就在右子树中继续进行操作
• 对于遍历操作，两棵子树都要顾及

前序遍历

• 访问节点的时机放在了访问左子树和右子树的前面

中序遍历

• 访问节点的时机放在了访问左子树和右子树的中间

• 二分搜索树的中序遍历结果是顺序的，正因为这种性质，二分搜索树也称为排序树

后序遍历

• 访问节点的时机放在了访问左子树和右子树的后面
• 应用场景：必须处理完节点的孩子节点之后再来处理这个节点，比如 为二分搜索树释放内存（Java语言有GC，所以用不到）

如何快速写出树结构中前中后序的遍历结果

• 对于每一个节点都连接着左子树和右子树，在具体遍历的时候，每一个节点都有三次的访问机会，遍历完左子树之后会回到该节点；然后继续去遍历右子树，遍历完右子树后会继续回到该节点。

• 二分搜索树的前中后遍历其实就对应着每个节点的三个紫色的点，在哪里进行真正的访问操作

• 前序遍历就是在第一次访问节点的时候访问节点值
• 中序遍历就是在第二次访问节点的时候访问节点值
• 中序遍历就是在第三次访问节点的时候访问节点值

二分搜索树的层序遍历

• 二分搜索树的前序、中序、后序遍历其实上都是深度优先的遍历。
• 根节点为深度为0的节点，一层一层的进行遍历
• 需要借助队列这种数据结构，从根节点开始，排队进入队列，队列中存储的就是待遍历的元素；每次遍历一个元素之后，将它的左右孩子也进行入队操作
• 广度优先遍历的意义：主要用于搜索策略上，而不是用于遍历操作上（对于遍历来说，深度优先遍历和广度优先遍历是没有区别的），常用于算法设计中-最短路径

删除二分搜索树中的最大值和最小值

1. 找到二分搜索树中的最大值和最小值

删除任意元素

1962年，Hibbard提出-Hibbard Deletion

• 删除左右都有孩子的节点，取比要删除节点要大的最小元素节点代替被删除节点，即找要删除元素的后继

• 需要找到对于要删除元素d的右子树来说相应的最小值的点，我们称这个点为s，s是d的后继

• s->right=delMin(d->right);

• s->left=d->left

• 删除d，s是新的子树的根节点

• 也可以通过找d的前去p来取代d，无论是使用前驱还是后继，都能继续保持二分搜索树的性质

更多二分搜索树相关的问题

• 二分搜索树具有顺序性，放在二分搜索树中的所有元素都是有序的（中序遍历得到的结果就是有序的），可以非常轻易地得到最大值 minimum 和最小值 maximum，包括给定一个值拿到它的前驱 successor 和后继 predecessor，
• floor，ceil ，比如寻找45的floor和ceil，floor是比45小的最大的元素，ceil是比45大的最小的元素
• rank，select，rank是查看元素排名第几 rank 58 求58是排名第几的元素；select是一个反向的操作，排名是第10名的元素是谁；实现rank和select最好的方式是每一个节点同时维护一个size，size表示以这个节点为根的二分搜索树有多少个元素，有了这个size之后就可以移除整体size 了
• 维护depth的二分搜索树
• 支持重复元素的二分搜索树；1. 定义左子树或右子树等于父节点即可；2.在Node作用域中定义count，记录重复元素，–后等于0，才彻底删除元素

学习收获

今天学习了经典树结构中的二叉树和二分搜索树。收获巨大。