2023-05-14：你的赛车可以从位置 0 开始，并且速度为 +1 ，在一条无限长的数轴上行驶，

赛车也可以向负方向行驶，

赛车可以按照由加速指令 ‘A’ 和倒车指令 ‘R’ 组成的指令序列自动行驶。

当收到指令 ‘A’ 时，赛车这样行驶：

position += speed，

speed *= 2。

当收到指令 ‘R’ 时，赛车这样行驶：

如果速度为正数，那么speed = -1，

否则 speed = 1，

当前所处位置不变。

例如，在执行指令 “AAR” 后，赛车位置变化为 0 --> 1 --> 3 --> 3，

速度变化为 1 --> 2 --> 4 --> -1，

给你一个目标位置 target ，返回能到达目标位置的最短指令序列的长度。

输入：target = 3。

输出：2。

答案2023-05-14：

算法1 - Dijkstra 算法

1.初始化

1.1.设置变量 maxp，表示当前速度下能达到的最大位置，同时计算最大速度 maxs；

1.2.初始化一个优先队列（堆），保存状态 state{speed, cost, position}，其中 speed 表示当前速度，cost 表示到达该状态所需的步数，position 表示当前位置；

1.3.根据最初的位置和速度创建初始状态，将其压入优先队列中。

2.Dijkstra 算法遍历状态空间

2.1.从优先队列中取出当前代价最小/速度绝对值最大的状态 state0；

2.2.若该状态满足目标条件，则返回其代价 cost；

2.3.否则，考虑在该状态基础上执行 A 或 R 操作后能够到达的状态：

2.3.1.若执行 A 操作，则新状态为 {speed+1, cost+1, position+(1<<(speed-1))}，必须满足新位置不超过 maxp、未访问过；

2.3.2.若执行 R 操作，则新状态为 {speed>0?-1:1, cost+1, position}，无需判断是否超过边界、未访问。

2.4.将所有可行的新状态加入优先队列，并继续进行 Dijkstra 遍历。

3.返回 -1，如果无法到达目标位置。

时间复杂度：O(T log T)，其中 T 是目标位置 target。每个状态最多被扩展一次，因此总共扩展的状态数不会超过 O(T)。在优先队列中插入和弹出元素的时间复杂度为 O(log T)，因此总时间复杂度为 O(T log T)。

空间复杂度：O(T log T)。需要开辟一个大小为 O(T log T) 的优先队列、两个大小为 O(T log T) 的二维数组 visitedPositive 和 visitedNegative，以及一个大小为 O(T) 的判断是否访问过的数组。

算法2 - 动态规划

1.初始化

1.1.创建长度为 target+1 的数组 dp，用于保存到达每个位置的最短步数；

1.2.调用 process(target, dp) 函数进行递归求解。

2.递归求解

2.1.若 dp[target] > 0，说明已经计算过到达该位置的最短步数，直接返回 dp[target]；

2.2.计算当前速度下能够到达的最远位置 maxp 和最大速度 maxs；

2.3.如果目标位置就在当前速度达不到的位置之前，则必须先倒车，再加速到目标位置；

若目标位置恰好与当前速度所达到的最远位置相同，则无需倒车。

2.4.对于以上情况，分别计算：

2.4.1.倒车后可以到达的位置 beyond = speed-1-target；

2.4.2.从新的位置开始加速到目标位置，需要的最短步数为 process(beyond, dp)，

在此基础上需要增加 1 次倒车操作和 1 次加速操作，因此总步数为 steps+1+process(beyond, dp)。

2.5.如果目标位置在当前速度达到的范围内，则直接加速即可。计算需要的最短步数，以及在此基础上还需要多少次加速操作（steps），

然后遍历所有加速操作的次数 back，计算倒车后可以到达的位置 lack 和需要的步数 steps+1+back+1+process(lack, dp)，

取其中的最小值即为当前情况下的最短步数。

2.6.将结果保存到数组 dp 中，并返回。

3.返回 dp[target]。

时间复杂度：O(T log T)。虽然是递归求解，但是可以使用记忆化优化，避免重复计算。每个位置最多只会被计算一次，因此总时间复杂度为 O(T)。

空间复杂度：O(T)。需要创建一个大小为 O(T) 的数组 dp 保存中间结果。

go完整代码如下：

package mainimport (    "container/heap"    "fmt")type state struct {    speed, cost, position int}type priorityQueue []statefunc (pq priorityQueue) Len() int { return len(pq) }func (pq priorityQueue) Less(i, j int) bool {    return pq[i].cost > pq[j].cost}func (pq priorityQueue) Swap(i, j int) { pq[i], pq[j] = pq[j], pq[i] }func (pq *priorityQueue) Push(x interface{}) {    item := x.(state)    *pq = append(*pq, item)}func (pq *priorityQueue) Pop() interface{} {    old := *pq    n := len(old)    item := old[n-1]    *pq = old[0 : n-1]    return item}func abs(x int) int {    if x < 0 {        return -x    }    return x}func racecar1(target int) int {    maxp := 0    maxs := 1    for maxp <= target {        maxp += 1 << (maxs - 1)        maxs += 1    }    heap0 := &priorityQueue{}    visitedPositive := make([][]bool, maxs+1)    visitedNegative := make([][]bool, maxs+1)    for i := range visitedPositive {        visitedPositive[i] = make([]bool, maxp+1)        visitedNegative[i] = make([]bool, maxp+1)    }    heap.Push(heap0, state{        speed:    1,        cost:     0,        position: 0,    })    for heap0.Len() > 0 {        current := heap.Pop(heap0).(state)        speed := current.speed        cost := current.cost        position := current.position        if position == target {            return cost        }        if speed > 0 {            if visitedPositive[speed][position] {                continue            }            visitedPositive[speed][position] = true            add(                speed+1,                cost+1,                position+(1<<(speed-1)),                maxp,                heap0,                visitedPositive,            )            add(                -1,                cost+1,                position,                maxp,                heap0,                visitedNegative,            )        } else {            speed := -speed            if visitedNegative[speed][position] {                continue            }            visitedNegative[speed][position] = true            add(                -(speed + 1),                cost+1,                position-(1<<(speed-1)),                maxp,                heap0,                visitedNegative,            )            add(                1,                cost+1,                position,                maxp,                heap0,                visitedPositive,            )        }    }    return -1}func add(    speed int,    cost int,    position int,    limit int,    heap0 *priorityQueue,    visited [][]bool,) {    if position >= 0 && position <= limit && !visited[abs(speed)][position] {        heap.Push(heap0, state{            cost:     cost,            speed:    speed,            position: position,        })    }}// 动态规划 + 数学func racecar2(target int) int {    dp := make([]int, target+1)    return process(target, dp)}func process(target int, dp []int) int {    if dp[target] > 0 {        return dp[target]    }    steps := 0    speed := 1    for speed <= target {        speed <<= 1        steps++    }    ans := 0    beyond := speed - 1 - target    if beyond == 0 {        ans = steps    } else {        ans = steps + 1 + process(beyond, dp)        steps--        speed >>= 1        lack := target - (speed - 1)        offset := 1        for back := 0; back < steps; back++ {            ans = min(ans, steps+1+back+1+process(lack, dp))            lack += offset            offset <<= 1        }    }    dp[target] = ans    return ans}func min(a, b int) int {    if a < b {        return a    }    return b}func main() {    target := 3    result1 := racecar1(target)    result2 := racecar2(target)    fmt.Println(result1)    fmt.Println(result2)    target = 6    result1 = racecar1(target)    result2 = racecar2(target)    fmt.Println(result1)    fmt.Println(result2)}

’ fill=’%23FFFFFF’%3E%3Crect x=‘249’ y=‘126’ width=‘1’ height=‘1’%3E%3C/rect%3E%3C/g%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E “null”)

在这里插入图片描述

rust完整代码如下：

use std::cmp::Reverse;use std::collections::BinaryHeap;fn racecar1(target: i32) -> i32 {    let mut maxp = 0;    let mut maxs = 1;    while maxp <= target {        maxp += 1 << (maxs - 1);        maxs += 1;    }    // 0 : 几倍速    // 1 : 花费了几步    // 2 : 当前位置    let mut heap = BinaryHeap::new();    let mut positive = vec![vec![false; (maxp + 1) as usize]; (maxs + 1) as usize];    let mut negative = vec![vec![false; (maxp + 1) as usize]; (maxs + 1) as usize];    heap.push((Reverse(0), Reverse(1), Reverse(0)));    while let Some((Reverse(cost), Reverse(speed), Reverse(position))) = heap.pop() {        if position == target {            return cost;        }        if speed > 0 {            if positive[speed as usize][position as usize] {                continue;            }            positive[speed as usize][position as usize] = true;            add(                speed + 1,                cost + 1,                position + (1 << (speed - 1)),                maxp,                &mut heap,                &positive,            );            add(-1, cost + 1, position, maxp, &mut heap, &negative);        } else {            let speed = -speed;            if negative[speed as usize][position as usize] {                continue;            }            negative[speed as usize][position as usize] = true;            add(                -(speed + 1),                cost + 1,                position - (1 << (speed - 1)),                maxp,                &mut heap,                &negative,            );            add(1, cost + 1, position, maxp, &mut heap, &positive);        }    }    -1}fn add(    speed: i32,    cost: i32,    position: i32,    limit: i32,    heap: &mut BinaryHeap<(Reverse<i32>, Reverse<i32>, Reverse<i32>)>,    visited: &Vec<Vec<bool>>,) {    if position >= 0 && position <= limit && !visited[speed.abs() as usize][position as usize] {        heap.push((Reverse(cost), Reverse(speed), Reverse(position)));    }}fn racecar2(target: i32) -> i32 {    let mut dp = vec![0; (target + 1) as usize];    process(target, &mut dp)}fn process(target: i32, dp: &mut Vec<i32>) -> i32 {    if dp[target as usize] > 0 {        return dp[target as usize];    }    let mut steps = 0;    let mut speed = 1;    while speed <= target {        speed <<= 1;        steps += 1;    }    let mut ans = 0;    let beyond = speed - 1 - target;    if beyond == 0 {        ans = steps;    } else {        ans = steps + 1 + process(beyond, dp);        steps -= 1;        speed >>= 1;        let mut lack = target - (speed - 1);        let mut offset = 1;        for back in 0..steps {            ans = ans.min(steps + 1 + back + 1 + process(lack, dp));            lack += offset;            offset <<= 1;        }    }    dp[target as usize] = ans;    ans}fn main() {    let target = 3;    let result1 = racecar1(target);    println!("{}", result1);    let result2 = racecar2(target);    println!("{}", result2);    let target = 6;    let result1 = racecar1(target);    println!("{}", result1);    let result2 = racecar2(target);    println!("{}", result2);}

’ fill=’%23FFFFFF’%3E%3Crect x=‘249’ y=‘126’ width=‘1’ height=‘1’%3E%3C/rect%3E%3C/g%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E “null”)

在这里插入图片描述

c语言第二种方法代码如下：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int racecar2_helper(int target, int* dp) {    if (dp[target] > 0) {        return dp[target];    }    int steps = 0;    int speed = 1;    while (speed <= target) {        speed <<= 1;        steps++;    }    int ans = 0;    int beyond = speed - 1 - target;    if (beyond == 0) {        ans = steps;    }    else {        ans = steps + 1 + racecar2_helper(beyond, dp);        steps--;        speed >>= 1;        int lack = target - (speed - 1);        int offset = 1;        for (int back = 0; back < steps; back++) {            ans = (ans < steps + 1 + back + 1 + racecar2_helper(lack, dp)) ?                ans : steps + 1 + back + 1 + racecar2_helper(lack, dp);            lack += offset;            offset <<= 1;        }    }    dp[target] = ans;    return ans;}int racecar2(int target) {    int* dp = (int*)calloc((target + 1), sizeof(int));    int result = racecar2_helper(target, dp);    free(dp);    return result;}int main() {    int target = 3;    printf("racecar2: %d", racecar2(target));    target = 6;    printf("racecar2: %d", racecar2(target));    return 0;}

’ fill=’%23FFFFFF’%3E%3Crect x=‘249’ y=‘126’ width=‘1’ height=‘1’%3E%3C/rect%3E%3C/g%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E “null”)

在这里插入图片描述

c++第二种方法代码如下：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int racecar2_helper(int target, vector<int>& dp) {    if (dp[target] > 0) {        return dp[target];    }    int steps = 0;    int speed = 1;    while (speed <= target) {        speed <<= 1;        steps++;    }    int ans = 0;    int beyond = speed - 1 - target;    if (beyond == 0) {        ans = steps;    }    else {        ans = steps + 1 + racecar2_helper(beyond, dp);        steps--;        speed >>= 1;        int lack = target - (speed - 1);        int offset = 1;        for (int back = 0; back < steps; back++) {            ans = min(ans, steps + 1 + back + 1 + racecar2_helper(lack, dp));            lack += offset;            offset <<= 1;        }    }    dp[target] = ans;    return ans;}int racecar2(int target) {    vector<int> dp(target + 1, 0);    return racecar2_helper(target, dp);}int main() {    int target = 3;    cout << "racecar2: " << racecar2(target) << endl;    target = 6;    cout << "racecar2: " << racecar2(target) << endl;    return 0;}

在这里插入图片描述

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