算法洗脑系列（8篇）——第七篇 动态规划

     今天跟大家分享下算法思想中比较难的一种"动态规划"，动态规划给人像是作战时常用的“迂回战术”，或者说是

游击战，在运动中寻找突破口。

一： 思想

   首先要了解”动态规划“，必须先知道什么叫做”多阶段决策“，百科里面对这个问题解释的很全，我就load一段出来，

大家得要好好品味，好好分析。

上面图中最后一句话就定义了动态规划是要干什么的问题。

二：使用规则

    现在我们知道动态规划要解决啥问题了，那么什么情况下我们该使用动态规划呢？

   ①  最优化原理（最优子结构性质）：

           如果一个问题的最优策略它的子问题的策略也是最优的，则称该问题具有“最优子结构性质”。

   ②  无后效性：

           当一个问题被划分为多个决策阶段，那么前一个阶段的策略不会受到后一个阶段所做出策略的影响。

   ③  子问题的重叠性：

          这个性质揭露了动态规划的本质，解决冗余问题，重复的子问题我们可以记录下来供后阶段决策时

        直接使用，从而降低算法复杂度。

三：求解步骤

      ①   描述最优解模型。

      ②   递归的定义最优解，也就是构造动态规划方程。

      ③   自底向上的计算最优解。

      ④   最后根据计算的最优值得出问题的最佳策略。

四：与其他算法的差异

     ① 递归：  递归采用的是“由上而下”的解题策略并带有可能的”子问题“重复调用，时间复杂度自然高。

                   而”动态规划“采用”自下而上“并带有临时存储器保存上一策略的最优解，空间换时间。

     ② 分治：  同样两者都是将问题划分为很多的子问题，不同的是”动态规划“中各子问题是相互联系的。

     ③ 贪心：  要注意的是贪心算法每走一步都是不可撤回的，而动态规划是在一个问题的多种策略中寻找

                   最优策略，所以动态规划中前一种策略可能会被后一种策略推翻。

五：举例

  动态规划中，最经典最著名的例子莫过于”背包问题“，现有：

    苹果： 1kg    12￥

    梨子： 1kg     3￥

    葡萄： 1kg    10￥

    板栗： 1kg    25￥  

现有一个背包，只能装3kg水果，那么如何得到物品价值最大化？

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace BeiBao
{
    public class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            Goods goods = new Goods()
            {
                LimitWeight = 3,
                LimitNum = 4,
                Weight = new double[4] { 1, 1, 1, 1 },
                Value = new double[4] { 12, 3, 10, 25 }
            };

            BackPack(goods, 0, 0, goods.Value.Sum());

            Console.WriteLine("经过最优化求解：\n");

            for (int i = 0; i < goods.Selected.Length; i++)
            {
                if (goods.Selected[i])
                {
                    Console.WriteLine("重量：" + goods.Weight[i] + " 价值：" + goods.Value[i]);
                }
            }

            Console.Read();
        }

        static double maxValue;

        static bool[] selected = new bool[4];

        static void BackPack(Goods good, int i, double tw, double tv)
        {
            //当前追加物品的重量
            var currentWeight = tw + good.Weight[i];

            //当前重量小于限制重量则继续追加
            if (currentWeight <= good.LimitWeight)
            {
                selected[i] = true;

                //如果当前不是最后一个商品，则继续追加
                if (i < good.LimitNum - 1)
                {
                    BackPack(good, i + 1, tw + good.Weight[i], tv);
                }
                else
                {
                    for (int k = 0; k < good.LimitNum; k++)
                    {
                        good.Selected[k] = selected[k];
                    }
                    maxValue = tv;
                }
            }

            selected[i] = false;

            //这里就体现了动态规划的根本目的，解决冗余
            if (tv - good.Value[i] > maxValue)
            {
                if (i < good.LimitNum - 1)
                {
                    //排除当前物品所剩余的价值总值
                    var exceptNotSelectedValue = tv - good.Value[i];

                    BackPack(good, i + 1, tw, exceptNotSelectedValue);
                }
                else
                {
                    for (int k = 0; k < good.LimitNum; k++)
                    {
                        good.Selected[k] = selected[k];
                    }

                    maxValue = tv - good.Value[i];
                }
            }
        }
    }

    #region 商品的实体
    /// <summary>
    /// 商品的实体
    /// </summary>
    public class Goods
    {
        public double[] Value = new double[4];
        public double[] Weight = new double[4];
        public bool[] Selected = new bool[4];
        public int LimitNum { get; set; }
        public double LimitWeight { get; set; }
    }
    #endregion
}