经典算法题每日演练——第十题 树状数组

        有一种数据结构是神奇的，神秘的，它展现了位运算与数组结合的神奇魅力，太牛逼的，它就是树状数组，这种数据结构不是神人是发现不了的。

一：概序

     假如我现在有个需求，就是要频繁的求数组的前n项和，并且存在着数组中某些数字的频繁修改，那么我们该如何实现这样的需求？当然大家可以往

真实项目上靠一靠。

① 传统方法：根据索引修改为O(1)，但是求前n项和为O(n)。

②空间换时间方法：我开一个数组sum[]，sum[i]=a[1]+....+a[i]，那么有点意思，求n项和为O(1)，但是修改却成了O(N)，这是因为我的Sum[i]中牵

                         涉的数据太多了，那么问题来了，我能不能在相应的sum[i]中只保存某些a[i]的值呢？好吧，下面我们看张图。

从图中我们可以看到S[]的分布变成了一颗树，有意思吧，下面我们看看S[i]中到底存放着哪些a[i]的值。

S[1]=a[1];

S[2]=a[1]+a[2];

S[3]=a[3];

S[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

S[5]=a[5];

S[6]=a[5]+a[6];

S[7]=a[7];

S[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

之所以采用这样的分布方式，是因为我们使用的是这样的一个公式：S[i]=a[i-2^k+1]+....+a[i]。

其中：2^k 中的k表示当前S[i]在树中的层数，它的值就是i的二进制中末尾连续0的个数，2^k也就是表示S[i]中包含了哪些a[]，

举个例子:  i=6₁₀=0110₂ ；可以发现末尾连续的0有一个，即k=1，则说明S[6]是在树中的第二层，并且S[6]中有2¹项，随后我们求出了起始项：

            a[6-2¹+1]=a[5]，但是在编码中求出k的值还是有点麻烦的，所以我们采用更灵巧的Lowbit技术，即：2^k=i&-i 。

           则：S[6]=a[6-2¹+1]=a[6-(6&-6)+1]=a[5]+a[6]。

二：代码

1:神奇的Lowbit函数

 1 #region 当前的sum数列的起始下标 2         /// <summary> 3         /// 当前的sum数列的起始下标 4         /// </summary> 5         /// <param name="i"></param> 6         /// <returns></returns> 7         public static int Lowbit(int i) 8         { 9             return i & -i;10         }11         #endregion

2:求前n项和

     比如上图中，如何求Sum(6)，很显然Sum(6)=S₄+S_6，那么如何寻找S4呢？即找到6以前的所有最大子树，很显然这个求和的复杂度为logN。

 1         #region 求前n项和 2         /// <summary> 3         /// 求前n项和 4         /// </summary> 5         /// <param name="x"></param> 6         /// <returns></returns> 7         public static int Sum(int x) 8         { 9             int ans = 0;10 11             var i = x;12 13             while (i > 0)14             {15                 ans += sumArray[i - 1];16 17                 //当前项的最大子树18                 i -= Lowbit(i);19             }20 21             return ans;22         }23         #endregion

3：修改

如上图中，如果我修改了a[5]的值，那么包含a[5]的S[5]，S[6]，S[8]的区间值都需要同步修改,我们看到只要沿着S[5]一直回溯到根即可，

同样它的时间复杂度也为logN。

 1         public static void Modify(int x, int newValue) 2         { 3             //拿出原数组的值 4             var oldValue = arr[x]; 5  6             for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1)) 7             { 8                 //减去老值，换一个新值 9                 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;10             }11         }

最后上总的代码:

View Code

  1 using System;  2 using System.Collections.Generic;  3 using System.Linq;  4 using System.Text;  5 using System.Diagnostics;  6 using System.Threading;  7 using System.IO;  8   9 namespace ConsoleApplication2 10 { 11     public class Program 12     { 13         static int[] sumArray = new int[8]; 14  15         static int[] arr = new int[8]; 16  17         public static void Main() 18         { 19             Init(); 20  21             Console.WriteLine("A数组的值:{0}", string.Join(",", arr)); 22             Console.WriteLine("S数组的值:{0}", string.Join(",", sumArray)); 23  24             Console.WriteLine("修改A[1]的值为3"); 25             Modify(1, 3); 26  27             Console.WriteLine("A数组的值:{0}", string.Join(",", arr)); 28             Console.WriteLine("S数组的值:{0}", string.Join(",", sumArray)); 29  30             Console.Read(); 31         } 32  33         #region 初始化两个数组 34         /// <summary> 35         /// 初始化两个数组 36         /// </summary> 37         public static void Init() 38         { 39             for (int i = 1; i <= 8; i++) 40             { 41                 arr[i - 1] = i; 42  43                 //设置其实坐标：i=1开始 44                 int start = (i - Lowbit(i)); 45  46                 var sum = 0; 47  48                 while (start < i) 49                 { 50                     sum += arr[start]; 51  52                     start++; 53                 } 54  55                 sumArray[i - 1] = sum; 56             } 57         } 58         #endregion 59  60         public static void Modify(int x, int newValue) 61         { 62             //拿出原数组的值 63             var oldValue = arr[x]; 64  65             arr[x] = newValue; 66  67             for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1)) 68             { 69                 //减去老值，换一个新值 70                 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue; 71             } 72         } 73  74         #region 求前n项和 75         /// <summary> 76         /// 求前n项和 77         /// </summary> 78         /// <param name="x"></param> 79         /// <returns></returns> 80         public static int Sum(int x) 81         { 82             int ans = 0; 83  84             var i = x; 85  86             while (i > 0) 87             { 88                 ans += sumArray[i - 1]; 89  90                 //当前项的最大子树 91                 i -= Lowbit(i); 92             } 93  94             return ans; 95         } 96         #endregion 97  98         #region 当前的sum数列的起始下标 99         /// <summary>100         /// 当前的sum数列的起始下标101         /// </summary>102         /// <param name="i"></param>103         /// <returns></returns>104         public static int Lowbit(int i)105         {106             return i & -i;107         }108         #endregion109     }110 }