返回错误结果的序列的递归求和

Question

我试图检索一个等差数列的前 n 项a(n) = n(n-1) + 4 where n(1) = 5 的总和：因此，前 2 项 (5,9) 的总和将是 14。但是，我的代码没有返回这个。相反，我得到了 13。我错过了什么？def main():    sequence(3,0)    print("in main")# 5,9,13,17,21,...# Sum of first 2 = 14# Sum of first 3 = 27def sequence(n, sum):    if (n == 1):        return 5    else:        a = sequence(n-1, sum) + 4        sum += a        print(sum)        return aif __name__ == '__main__':     try:        main()    finally:        print("done")

Answer 1

一个等差数列（或级数）具有：

• 一个给定的开始词语：让我们把它˚F IRST

• 增量值（任何连续2个词之间）：让我们把它 d IFF

是一组有序的数字（项），其中每个项可以写为：

Tk = Tk - 1 + d，从这里开始：

Tk = T1 + (k - 1) * d（虽然我发现它有点不自然，Ť ₁为第1^日的元素，所以从索引开始1中，为了使Ñ^个序列中元件具有索引Ñ）^（0）

所以：

T1 = f

T2 = f + (2 - 1) * d( )T1 + d

T3 = f + (3 - 1) * d( )T2 + d

T4 = f + (4 - 1) * d

....

Tn - 1 = f + (n - 2) * d

Tn = f + (n - 1) * d

总结所有内容，在=符号的右侧：

• f出现n次

• d出现(n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1，它是数字 til n - 1的总和，可以使用高斯公式计算：(n - 1) * n // 2

• 对于这种特殊情况，f = 5和d = 4

所以，使用这个等差数列属性，你不需要计算每一项，因此完全不需要递归，相反你可以（应该）使用一堆简单的算术运算。

有关更多详细信息，请查看[维基百科]：算术级数

翻译成Python：

>>> def sum_arithmetic_sequence(first, diff, count):

...     return count * first + ((count - 1) * count // 2) * diff

...

>>>

>>> sum_arithmetic_sequence(5, 4, 1)

5

>>> sum_arithmetic_sequence(5, 4, 2)

14

>>> sum_arithmetic_sequence(5, 4, 3)

27

>>> sum_arithmetic_sequence(5, 4, 4)

44

或（来自(0)）：

>>> def sequence_sum(n):  # I'd add the first and diff arguments as well to keep it general, but for simplicity's sake I'll hardcode them to 5 and 4

...     if n == 1:

...         return 5

...     return 5 + (n - 1) * 4 + sequence_sum(n - 1)

...

>>>

Answer 2

你应该试着分解它来理解它。

sequence(3, 0)

# first iteration

a = sequence(2, 0) + 4

# second iteration

a = sequence(1, 0) + 4

# third iteration

return 5

# Now let's work our way backwards

a = 5 + 4 -> 9

a = 9 + 4 -> 13

这就是为什么你会得到 13。这是否足以让你朝着正确的方向前进？这是另一个提示，请注意您正在返回数字序列而不是它们的总和。

Answer 3

您的问题中似乎至少有几个令人困惑的问题。首先，您将序列公式表示为：

a(n) = n(n-1) + 4

但要获得您所描述的结果，公式必须是：

a(n) = a(n-1) + 4

其次，您似乎将序列与序列的总和混淆了。让我们生成序列（递归），然后对序列进行运行求和（也递归）：

def sum_sequence(sequence):

    first, rest = sequence[0], sequence[1:]

    if rest:

        second, rest = rest[0], rest[1:]

        rest = sum_sequence([first + second] + rest)

    return [first] + rest

def generate_sequence(n):

    if n == 1:

        return 5

    return generate_sequence(n - 1) + 4

if __name__ == '__main__':

    sequence = [generate_sequence(n) for n in range(1, 11)]

    print(*sequence, sep=", ", end=", ...\n")

    sums = sum_sequence(sequence)

    print(*sums, sep=", ", end=", ...\n")

输出

% python3 test.py

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, ...

5, 14, 27, 44, 65, 90, 119, 152, 189, 230, ...

%