将所有数字分解为给定数字的快速算法

Question

我正在寻找一种算法，可以根据已经分解的数字分解数字。换句话说，我正在寻找一种快速算法来将所有数字分解为给定数字，并将它们存储在（我想这是最容易使用的数据结构）列表/元组元组中。我正在寻找一种“最多 n”的算法，因为我需要最多“n”的所有数字，而且我想这比一个一个地检查要快。对于我正在运行的程序，我希望此算法在合理的时间内（不到一小时）运行 2*10^8。我在 python 中尝试了一种更天真的方法，首先找到“n”之前的所有素数，然后对于每个数字“k”，通过检查每个素数直到被除以它（我们称之为 p），找到它的素因数分解，那么它的因式分解就是 k/p + p 的因式分解。from math import *max=1000000 # We will check all numbers up to this number, lst = [True] * (max - 2) # This is an algorithm I found online that will make the "PRIMES" list all the primes up to "max", very efficentfor i in range(2, int(sqrt(max) + 1)):  if lst[i - 2]:    for j in range(i ** 2, max, i):      lst[j - 2] = FalsePRIMES = tuple([m + 2 for m in range(len(lst)) if lst[m]]) # (all primes up to "max")FACTORS = [(0,),(1,)] #This will be a list of tuples where FACTORS[i] = the prime factors of ifor c in range(2,max): #check all numbers until max  if c in PRIMES:    FACTORS.append((c,)) #If it's a prime just add it in  else: #if it's not a prime...    i=0    while PRIMES[i]<= c: #Run through all primes until you find one that divides it,      if c%PRIMES[i] ==0:         FACTORS.append(FACTORS[c//PRIMES[i]] + (PRIMES[i],)) #If it does, add the prime with the factors of the division        break      i+=1从测试来看，绝大多数时间都浪费在检查候选人是否为素数之后的 else 部分。这需要的不仅仅是我们的 for max = 200000000

Answer 1

您可以使用脚本的第一部分来做到这一点！

代码：

from math import *

import time

MAX = 40000000

t = time.time()

# factors[i] = all the prime factors of i

factors = {}

# Running over all the numbers smaller than sqrt(MAX) since they can be the factors of MAX

for i in range(2, int(sqrt(MAX) + 1)):

    # If this number has already been factored - it is not prime

    if i not in factors:

        # Find all the future numbers that this number will factor

        for j in range(i * 2, MAX, i):

            if j not in factors:

                factors[j] = [i]

            else:

                factors[j].append(i)

print(time.time() - t)

for i in range(3, 15):

    if i not in factors:

        print(f"{i} is prime")

    else:

        print(f"{i}: {factors[i]}")

结果：

3: 是质数

4: [2]

5: 是质数

6: [2, 3]

7: 是质数

8: [2]

9: [3]

10: [2, 5]

11: 是质数

12: [2, 3]

13: 是质数

14: [2, 7]

解释：

正如评论中提到的，它是对埃拉托色尼筛法算法的修改。

对于每个数字，我们找到它可以在未来因式分解的所有数字。

如果该数字未出现在结果字典中，则它是素数，因为没有数字将其分解。我们使用字典而不是列表，因此根本不需要保存质数——这对内存更友好但也有点慢。

时间：

根据MAX = 40000000with time.time(): 110.14351892471313seconds 的简单检查。

对于MAX = 1000000：1.0785243511199951秒。

对于MAX = 200000000with time.time()：1.5 小时后未完成...它已达到主循环中 6325 项中的第 111 项（这还不错，因为循环越远，它们变得越短）。

然而，我确实相信一个写得很好的 C 代码可以在半小时内完成（如果你愿意考虑它，我可能会写另一个答案）。可以做的更多优化是使用多线程和一些像 Miller–Rabin 这样的素数测试。当然值得一提的是，这些结果是在我的笔记本电脑上得出的，也许在 PC 或专用机器上它会运行得更快或更慢。

Answer 2

编辑：

我实际上在代码审查中问了一个关于这个答案的问题，它有一些关于运行时的很酷的图表！

编辑#2：

有人回答了我的问题，现在代码经过一些修改可以在 2.5 秒内运行。

由于之前的答案写在里面，Python所以速度很慢。下面的代码做的是完全相同的，但在 中C++，它有一个线程每 10 秒监控一次它获得了哪个素数。

#include <math.h>

#include <unistd.h>

#include <list>

#include <vector>

#include <ctime>

#include <thread>

#include <iostream>

#include <atomic>

#ifndef MAX

#define MAX 200000000

#define TIME 10

#endif

std::atomic<bool> exit_thread_flag{false};

void timer(int *i_ptr) {

    for (int i = 1; !exit_thread_flag; i++) {

        sleep(TIME);

        if (exit_thread_flag) {

            break;

        }

        std::cout << "i = " << *i_ptr << std::endl;

        std::cout << "Time elapsed since start: " 

                  << i * TIME 

                  << " Seconds" << std::endl;

    }

}

int main(int argc, char const *argv[])

{

    int i, upper_bound, j;

    std::time_t start_time;

    std::thread timer_thread;

    std::vector< std::list< int > > factors;

    std::cout << "Initiallizating" << std::endl;

    start_time = std::time(nullptr);

    timer_thread = std::thread(timer, &i);

    factors.resize(MAX);

    std::cout << "Initiallization took " 

              << std::time(nullptr) - start_time 

              << " Seconds" << std::endl;

    std::cout << "Starting calculation" << std::endl;

    start_time = std::time(nullptr);

    upper_bound = sqrt(MAX) + 1;

    for (i = 2; i < upper_bound; ++i)

    {

        if (factors[i].empty())

        {

            for (j = i * 2; j < MAX; j += i)

            {

                factors[j].push_back(i);

            }

        }

    }

    std::cout << "Calculation took " 

              << std::time(nullptr) - start_time 

              << " Seconds" << std::endl;

    // Closing timer thread

    exit_thread_flag = true;

    std::cout << "Validating results" << std::endl;

    for (i = 2; i < 20; ++i)

    {

        std::cout << i << ": ";

        if (factors[i].empty()) {

            std::cout << "Is prime";

        } else {

            for (int v : factors[i]) {

                std::cout << v << ", ";

            }

        }

        std::cout << std::endl;

    }

    

    timer_thread.join();

    return 0;

}

它需要用以下行编译：

g++ main.cpp -std=c++0x -pthread

如果您不想将整个代码转换为 C++，您可以使用 Python 中的子进程库。

时间：

好吧，我尽了最大努力，但它仍然运行了一个多小时……它6619在 1.386111 小时（4990 秒）内达到了第 855 个素数（好多了！）。所以这是一个进步，但还有一段路要走！（没有另一个线程可能会更快）