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递归算法之斐波那契数列

1. 前言

本节内容是递归算法系列之一:斐波那契数列递归求解,主要介绍了斐波那契数列的定义,然后用递归的实现思想分析了一下斐波那契数列,最后给出了基于 Java 代码应用递归思想实现斐波那契数列的代码实现及简单讲解。

2. 什么是斐波那契数列?

斐波那契数列(Fibonacci sequence),也称之为黄金分割数列,由意大利数学家列昂纳多・斐波那契(Leonardo Fibonacci)提出。斐波那契数列指的是这样的一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……,这个数列从第 3 项开始,每一项都等于前面两项之和。在数学上,斐波那契数列可以被递推的方法定义如下:

F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n ≥ 3,n ∈ N*)

斐波那契数列是数学上面一个经典的例子,并且在日常生活中有很多应用,他还与黄金分割有着密不可分的联系,而且当 n 趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割值 0.618。

3. 用递归方法求解斐波那契数列

在这一节中,我们就需要利用递归的思想去求解斐波那契数列,当给出一个斐波那契中第几项的数字,然后求解出对应的斐波那契数值。在之前,我们已经定义了递归算法的相关概念,并且明确了需要应用递归时候的三要素:

  1. 递归终止条件;
  2. 递归终止时候的处理方法;
  3. 递归中重复的逻辑提取,缩小问题规模。

接下来,我们将利用递归的知识来解决斐波那契数列问题,明确在斐波那契数列求解问题中的递归三要素分别是什么。

斐波那契数列的递归终止条件
显然易见,通过观察斐波那契数列的定义,我们很容易发现当 n=1 或者 n=2 时,是斐波那契数列的递归终止条件,这个时候可以给出斐波那契数列的具体值。

斐波那契数列递归终止时候的处理方法
同样的,基于斐波那契数列的递推定义,当斐波那契数列达到终止条件 n=1 或者 n=2 时,我们也很容易发现对应 F(1)=1,F(2)=1,这就是斐波那契数列在递归终止时对应的取值。

斐波那契数列的递归重复逻辑提取
按照斐波那契数列的数学定义,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n ≥ 3,n ∈ N*),即当 n ≥ 3 时,斐波那契数列中这一项的值等于前面两项的值之和,这样便可以将求解一个比较大的斐波那契数列转化为求解较小数值的斐波那契数列值,这里面有重复逻辑可以递归复用。

例如,当我们求解斐波那契数列中的 F(5) 时,按照定义,我们有:

F(5) = F(4) + F(3) // 递归分解
​ = ( F(3) + F(2) ) + ( F(2)+F(1) ) // 递归求解
​ = [ ( F(2)+F(1) ) + 1 ] + ( 1+1 ) // 递归求解,遇到终止条件就求解
​ = [(1+1) +1 ]+(1+1) // 归并
​ = 3 + 2 // 归并
​ = 5 // 归并

4. 基于 Java 代码示例及实现讲解

在说明斐波那契数列的递归描述之后,我们看看如何用 Java 代码来实现对斐波那契数列的计算。

public class Fibonacci {

    public static void main(String[] args){
        System.out.println(fibonacci(1));
        System.out.println(fibonacci(2));
        System.out.println(fibonacci(3));
        System.out.println(fibonacci(4));
        System.out.println(fibonacci(5));
    }

    //斐波那契数列数列的计算
    private static int fibonacci(int n){
        //如果是终止条件,按照要求返回终止条件对应结果
        if( n==1 || n==2 ){
            return 1;
        }else {
            //非终止条件,按照要求把大的问题拆分成小问题,调用自身函数递归处理
            return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
        }
    }

}

运行结果如下:

1
1
2
3
5

代码中的第 4 行至第 8 行分别调用斐波那契数列计算函数,计算出斐波那契数列中对应 n=1,2,3,4,5 时斐波那契数列的取值,进行结果比较,判断斐波那契数列程序实现是否正确。代码中的第 12 行至第 20 行是斐波那契数列应用递归方法进行斐波那契数列的计算,按照递归的三要素进行计算处理。

5. 小结

本节主要介绍了用递归思想求解斐波那契数列,在学完本节课程之后,我们了解到了什么是斐波那契数列,并且将递归算法在斐波那契数列中进行了实际应用,需要掌握斐波那契数列的递归求解方法,并自己可以实现相关的代码实现,并清楚里面的每一步逻辑。