Python / Numpy 线性代数

Numpy 线性代数

在线性代数的范畴里,矩阵运算有很多不一样的地方,例如內积、行列式、逆运算等等。

Numpy 提供了一系列可以用于线性代数运算的函数,具体如下:

函数 描述
dot 两个数组的点积,即元素对应相乘。
vdot 两个向量的点积
inner 两个数组的内积
matmul 两个数组的矩阵积
determinant 数组的行列式
solve 求解线性矩阵方程
inv 计算矩阵的乘法逆矩阵

1. 二元运算

1.1 numpy.dot 函数

对于两个一维数组,dot() 函数计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和,也称之为內积。对于二维数组,计算的是两个数组的矩阵乘积。

案例

创建两个一维数组 a 和 b:

a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([6, 7, 8, 9])

计算一维数组的內积:

np.dot(a, b)
out:
    80

创建两个二维数组:

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = np.array([[11, 22], [33, 44], [55, 66]])

计算二维数组的矩阵乘积:

np.dot(A, B)
out:
    array([[242, 308],
       [539, 704]])

可以发现,对二维数组,矩阵的乘积满足如下规律:m×p的矩阵A,p×n的矩阵B,其矩阵乘积结果为大小为m×n的矩阵。

1.2 numpy.vdot 函数

numpy.vdot() 函数是求两个向量的点积,即对应位置的元素乘积求和。

案例

创建大小为 3×2 的矩阵 C:

C = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])

求解点积:

np.vdot(B, C)
out:
    1001

如果对于两个维度不一致的矩阵进行点积运算:

np.vdot(A, B)
out:
    1001

观察发现,对于维度不一致的矩阵,如果其元素个数相等,则可以进行 vdot 点积运算;因为在 vdot运算过程中,会首先将矩阵展开。

1.3 numpy.inner 函数

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度,它返回最后一个轴上的元素乘积之和。

案例

对大小为 3×2 的矩阵 B、C,求其內积:

np.inner(B, C)
out:
    array([[ 55, 121, 187],
       [121, 275, 429],
       [187, 429, 671]])

上述內积的计算过程为:

[
    11*1+22*2=55, 11*3+22*4=121, 11*5+22*6=187
    33*1+44*2=121, 33*3+44*4=275, 33*5+44*6=429
    55*1+66*2=187, 55*3+66*4=429, 55*5+66*6=671
]

1.4 numpy.matmul函数

numpy.matmul 函数返回两个数组的矩阵乘积。对于二维数组,其计算结果与dot一致。

案例

np.matmul(A, B)
out:
    array([[242, 308],
       [539, 704]])

2. 线性代数求解

Numpy 提供了线性代数函数库 linalg,该库包含了求解线性代数问题所需的常用功能。

2.1 行列式

numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。

行列式在线性代数中是非常有用的值。 它从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵,它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。换句话说,对于矩阵 [[a,b],[c,d]],行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。

案例

M = np.array([[6, 2, 1], [4, -2, 15], [12, 8, 7]]) 
M
out:
    array([[ 6,  2,  1],
       [ 4, -2, 15],
       [12,  8,  7]])

求解矩阵 M 的行列式:

np.linalg.det(M)
out:
    -444

2.2 方程组的解

numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。

案例

对于如下方程组:

x + y + z =10
2x + y = 6
3y -2z = 2

将方程组转化为矩阵形式:Ax=b,则有:

A = np.array([[1, 1, 1], [2, 1, 0], [0, 3, -2]])
b = np.array([[10], [6], [2]])

求解方程组:

np.linalg.solve(A, b)
out:
    array([[1.],
       [4.],
       [5.]])

即上述方程组的解为:x=1,y=4,z=5。

2.3 逆矩阵

numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的乘法逆矩阵。

逆矩阵的概念如下:设 A 是数域上的一个 n 阶矩阵,若在相同数域上存在另一个 n 阶矩阵 B,使得: AB=BA=E ,则我们称 B 是 A 的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。

注意:E 为单位矩阵。

案例

利用逆矩阵,可以换一种思路求解 2.2 中的方程组的解:

对于矩阵 A,假设逆矩阵为 F,则有:x=Fb。因此方程组的解为:

print("计算A的逆矩阵:")
F = np.linalg.inv(A)
print("A的逆矩阵F:", F)

print("方程组的解为:", np.matmul(F, b))

计算过程如下:

计算A的逆矩阵:
A的逆矩阵F: [[-0.25   0.625 -0.125]
 [ 0.5   -0.25   0.25 ]
 [ 0.75  -0.375 -0.125]]
方程组的解为: [[1.]
 [4.]
 [5.]]

3. 小结

本节介绍了 Numpy 中与线性代数有关的常用函数,其中重点介绍了內积、点积、求行列式、求逆、求解方程等方法。